Giải mục 3 trang 17, 18 Chuyên đề học tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo
Tổng quan nội dung
Hướng Dẫn Giải: Giải mục 3 trang 17, 18 Chuyên đề học tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo (Môn Toán học Lớp 11)
Bạn đang theo dõi phần hướng dẫn giải chi tiết và chuyên sâu dành riêng cho bài học Giải mục 3 trang 17, 18 Chuyên đề học tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo. Đây là một nội dung học tập quan trọng nằm trong chương trình môn Toán học của học sinh lớp 11, được trích xuất từ bộ SGK chuẩn . Trong bài học này, chúng tôi không chỉ cung cấp đáp án chính xác cho các câu hỏi phần lý thuyết, mà còn giải mã cặn kẽ từng bài tập tự luận và trắc nghiệm nằm ở cuối bài. Mỗi bước biến đổi công thức, mỗi luận điểm đưa ra đều được đội ngũ giáo viên phân tích rõ ràng, giúp học sinh nắm bắt được phương pháp tư duy và áp dụng thành thạo cho các dạng bài kiểm tra tương tự. Hãy cùng chuẩn bị vở nháp và theo dõi sát sao từng bước giải dưới đây để củng cố vững chắc kiến thức của bạn nhé.
Cho tam giác ABC cân tại A và M là trung điểm của BC. Tìm ảnh của tam giác ABC qua phép đối xứng trục AM.
Khám phá 3
Cho tam giác ABC cân tại A và M là trung điểm của BC. Tìm ảnh của tam giác ABC qua phép đối xứng trục AM.
Phương pháp giải:
Để tìm ảnh của tam giác ABC qua phép đối xứng trục AM ta đi tìm ảnh của từng điểm A, B, C qua phép đối xứng trục AM.
Lời giải chi tiết:
Do \(A \in AM\) nên \({Đ_{AM}}\left( A \right){\rm{ }} = {\rm{ }}A.\)
Ta có tam giác ABC cân tại A có AM là đường trung tuyến.
Suy ra AM cũng là đường trung trực của tam giác ABC.
Do đó AM là đường trung trực của đoạn thẳng BC.
Vì vậy \({Đ_{AM}}\left( B \right){\rm{ }} = {\rm{ }}C,{\rm{ }}{Đ_{AM}}\left( C \right){\rm{ }} = {\rm{ }}B.\)
Vậy ảnh của tam giác ABC qua phép đối xứng trục AM là tam giác ACB.
Thực hành 2
Tìm trục đối xứng của một hình thang cân ABCD có hai đáy là AB và CD.
Phương pháp giải:
Có một đường thẳng chia hình thành hai phần bằng nhau mà nếu “gấp” hình theo đường thẳng thì hai phần đó “chồng khít” lên nhau. Được gọi là hình có trục đối xứng và đường thẳng là trục đối xứng của nó.
Lời giải chi tiết:
Gọi H là giao điểm của AD và BC.
Ta có \(\widehat {ADC} = \widehat {BCD}\) (do ABCD là hình thang cân).
Suy ra tam giác HCD cân tại H.
Do đó \(HD{\rm{ }} = {\rm{ }}HC\).
Vì vậy \(HD{\rm{ }}-{\rm{ }}AD{\rm{ }} = {\rm{ }}HC{\rm{ }}-{\rm{ }}BC\) (AD = BC vì ABCD là hình thang cân có hai đáy AB, CD).
Suy ra \(HA{\rm{ }} = {\rm{ }}HB.\)
Do đó tam giác HAB cân tại H.
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD.
Tam giác HCD cân tại H có HN là đường trung tuyến.
Suy ra HN cũng là đường cao của tam giác HCD, do đó HN ⊥ CD.
Chứng minh tương tự, ta được HM ⊥ AB.
Mà AB // CD (chứng minh trên).
Suy ra \(HM \bot CD\)
Lại có \(HN \bot CD\) (chứng minh trên).
Do đó ba điểm H, M, N thẳng hàng.
Ta có M là trung điểm AB và \(MN \bot AB\) (chứng minh trên).
Suy ra MN là đường trung trực của hai đoạn thẳng AB.
Khi đó \(B{\rm{ }} = {\rm{ }}{Đ_{MN}}\left( A \right),{\rm{ }}A{\rm{ }} = {\rm{ }}{Đ_{MN}}\left( B \right).\)
Chứng minh tương tự, ta được \(D{\rm{ }} = {\rm{ }}{Đ_{MN}}\left( C \right),{\rm{ }}C{\rm{ }} = {\rm{ }}{Đ_{MN}}\left( D \right).\)
Do đó ảnh của hình thang cân ABCD qua là chính nó.
Vậy trục đối xứng cần tìm là đường thẳng MN, với M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD.
Vận dụng 2
Tìm trục đối xứng trong các hình ở Hình 10.
Phương pháp giải:
Có một đường thẳng chia hình thành hai phần bằng nhau mà nếu “gấp” hình theo đường thẳng thì hai phần đó “chồng khít” lên nhau. Được gọi là hình có trục đối xứng và đường thẳng là trục đối xứng của nó.
Lời giải chi tiết:
+ Ta xét hình tứ giác:
Chọn đường thẳng d như hình vẽ.
Lấy điểm A nằm trên hình tứ giác nhưng không nằm trên đường thẳng d.
Ta đặt \(A'{\rm{ }} = {\rm{ }}{Đ_d}\left( A \right).\)
Khi đó A’ nằm trên hình tứ giác ban đầu.
Lấy điểm B nằm trên hình tứ giác và nằm trên đường thẳng d.
Ta thấy \(B{\rm{ }} = {\rm{ }}{Đ_d}\left( B \right).\)
Tương tự như vậy, ta chọn các điểm khác bất kì nằm trên hình tứ giác, ta cũng xác định được ảnh của các điểm đó qua Đd trên hình tứ giác ban đầu.
Do đó Đd biến hình tứ giác đã cho thành chính nó.
Vậy đường thẳng d như hình vẽ là trục đối xứng của hình tứ giác đã cho.
+ Ta xét hình lục giác:
Chọn đường thẳng m là đường trung trực của hai cạnh đối như hình vẽ.
Lấy điểm I nằm trên hình lục giác nhưng không nằm trên đường thẳng m.
Ta đặt \(I'{\rm{ }} = {\rm{ }}{Đ_m}\left( I \right).\)
Khi đó I’ nằm trên hình lục giác ban đầu.
Lấy điểm J nằm trên hình lục giác và nằm trên đường thẳng m.
Ta thấy \(J{\rm{ }} = {\rm{ }}{Đ_m}\left( J \right).\)
Tương tự như vậy, ta chọn các điểm khác bất kì nằm trên hình lục giác, ta cũng xác định được ảnh của các điểm đó qua Đm trên hình lục giác ban đầu.
Do đó \({Đ_m}\;\) biến hình lục giác đã cho thành chính nó.
Vậy đường thẳng m như hình vẽ là trục đối xứng của hình lục giác đã cho.
Chú ý: Hình lục giác đều có 3 trục đối xứng \(\left( {m,{\rm{ }}m',{\rm{ }}m''} \right).\)
+ Ta xét hình tam giác cân:
Chọn đường thẳng n là đường trung trục của cạnh đáy như hình vẽ.
Lấy điểm E nằm trên hình tam giác nhưng không nằm trên đường thẳng n.
Ta đặt \(E'{\rm{ }} = {\rm{ }}{Đ_n}\left( E \right).\)
Khi đó E’ nằm trên hình tam giác ban đầu.
Lấy điểm F nằm trên hình tam giác và nằm trên đường thẳng n.
Ta thấy \(F{\rm{ }} = {\rm{ }}{Đ_n}\left( F \right).\)
Tương tự như vậy, ta chọn các điểm khác bất kì nằm trên hình tam giác, ta cũng xác định được ảnh của các điểm đó qua Đn trên hình tam giác ban đầu.
Do đó \({Đ_n}\;\) biến hình tam giác đã cho thành chính nó.
Vậy đường thẳng n là trục đối xứng của hình tam giác đã cho.
+ Ta xét hình bông tuyết:
Chọn đường thẳng \({x_1}\;\) như hình vẽ.
Lấy điểm G nằm trên hình bông tuyết nhưng không nằm trên đường thẳng \({x_1}\;\).
Ta đặt \(G' = {Đ_{{x_1}}}\left( G \right)\)
Khi đó G’ nằm trên hình bông tuyết ban đầu.
Lấy điểm H nằm trên hình bông tuyết và nằm trên đường thẳng x1.
Ta thấy \(H = {Đ_{{x_1}}}\left( H \right)\)
Tương tự như vậy, ta chọn các điểm khác bất kì nằm trên hình bông tuyết, ta cũng xác định được ảnh của các điểm đó qua trên hình bông tuyết ban đầu.
Do đó \({Đ_{{x_1}}}\) biến hình bông tuyết đã cho thành chính nó.
Vậy đường thẳng \({x_1}\) như hình vẽ là trục đối xứng của hình bông tuyết đã cho.
Chú ý: Hình bông tuyết này có 6 trục đối xứng \(({x_1},{\rm{ }}{x_2},{\rm{ }}{x_3},{\rm{ }}{x_4},{\rm{ }}{x_5},{\rm{ }}{x_6}).\)
+ Ta xét hình con sao biển:
Chọn đường thẳng y1 như hình vẽ.
Lấy điểm P nằm trên hình con sao biển nhưng không nằm trên đường thẳng y1.
Ta đặt \(P' = {Đ_{{y_1}}}\left( P \right)\)
Khi đó P’ nằm trên hình con sao biển ban đầu.
Lấy điểm Q nằm trên hình con sao biển và nằm trên đường thẳng y.
Ta thấy \(Q = {Đ_{{y_1}}}\left( Q \right)\)
Tương tự như vậy, ta chọn các điểm khác bất kì nằm trên hình con sao biển, ta cũng xác định được ảnh của các điểm đó qua \({Đ_{{y_1}}}\) trên hình con sao biển ban đầu.
Do đó \({Đ_{{y_1}}}\) biến hình con sao biển đã cho thành chính nó.
Vậy đường thẳng \({y_1}\) như hình vẽ là trục đối xứng của hình con sao biển đã cho.
Chú ý: Hình con sao biển có 5 trục đối xứng \(({y_1},{\rm{ }}{y_2},{\rm{ }}{y_3},{\rm{ }}{y_4},{\rm{ }}{y_5}).\)
- Khám phá 3
- Thực hành 2
- Vận dụng 2
Cho tam giác ABC cân tại A và M là trung điểm của BC. Tìm ảnh của tam giác ABC qua phép đối xứng trục AM.
Phương pháp giải:
Để tìm ảnh của tam giác ABC qua phép đối xứng trục AM ta đi tìm ảnh của từng điểm A, B, C qua phép đối xứng trục AM.
Lời giải chi tiết:
Do \(A \in AM\) nên \({Đ_{AM}}\left( A \right){\rm{ }} = {\rm{ }}A.\)
Ta có tam giác ABC cân tại A có AM là đường trung tuyến.
Suy ra AM cũng là đường trung trực của tam giác ABC.
Do đó AM là đường trung trực của đoạn thẳng BC.
Vì vậy \({Đ_{AM}}\left( B \right){\rm{ }} = {\rm{ }}C,{\rm{ }}{Đ_{AM}}\left( C \right){\rm{ }} = {\rm{ }}B.\)
Vậy ảnh của tam giác ABC qua phép đối xứng trục AM là tam giác ACB.
Tìm trục đối xứng của một hình thang cân ABCD có hai đáy là AB và CD.
Phương pháp giải:
Có một đường thẳng chia hình thành hai phần bằng nhau mà nếu “gấp” hình theo đường thẳng thì hai phần đó “chồng khít” lên nhau. Được gọi là hình có trục đối xứng và đường thẳng là trục đối xứng của nó.
Lời giải chi tiết:
Gọi H là giao điểm của AD và BC.
Ta có \(\widehat {ADC} = \widehat {BCD}\) (do ABCD là hình thang cân).
Suy ra tam giác HCD cân tại H.
Do đó \(HD{\rm{ }} = {\rm{ }}HC\).
Vì vậy \(HD{\rm{ }}-{\rm{ }}AD{\rm{ }} = {\rm{ }}HC{\rm{ }}-{\rm{ }}BC\) (AD = BC vì ABCD là hình thang cân có hai đáy AB, CD).
Suy ra \(HA{\rm{ }} = {\rm{ }}HB.\)
Do đó tam giác HAB cân tại H.
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD.
Tam giác HCD cân tại H có HN là đường trung tuyến.
Suy ra HN cũng là đường cao của tam giác HCD, do đó HN ⊥ CD.
Chứng minh tương tự, ta được HM ⊥ AB.
Mà AB // CD (chứng minh trên).
Suy ra \(HM \bot CD\)
Lại có \(HN \bot CD\) (chứng minh trên).
Do đó ba điểm H, M, N thẳng hàng.
Ta có M là trung điểm AB và \(MN \bot AB\) (chứng minh trên).
Suy ra MN là đường trung trực của hai đoạn thẳng AB.
Khi đó \(B{\rm{ }} = {\rm{ }}{Đ_{MN}}\left( A \right),{\rm{ }}A{\rm{ }} = {\rm{ }}{Đ_{MN}}\left( B \right).\)
Chứng minh tương tự, ta được \(D{\rm{ }} = {\rm{ }}{Đ_{MN}}\left( C \right),{\rm{ }}C{\rm{ }} = {\rm{ }}{Đ_{MN}}\left( D \right).\)
Do đó ảnh của hình thang cân ABCD qua là chính nó.
Vậy trục đối xứng cần tìm là đường thẳng MN, với M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD.
Tìm trục đối xứng trong các hình ở Hình 10.
Phương pháp giải:
Có một đường thẳng chia hình thành hai phần bằng nhau mà nếu “gấp” hình theo đường thẳng thì hai phần đó “chồng khít” lên nhau. Được gọi là hình có trục đối xứng và đường thẳng là trục đối xứng của nó.
Lời giải chi tiết:
+ Ta xét hình tứ giác:
Chọn đường thẳng d như hình vẽ.
Lấy điểm A nằm trên hình tứ giác nhưng không nằm trên đường thẳng d.
Ta đặt \(A'{\rm{ }} = {\rm{ }}{Đ_d}\left( A \right).\)
Khi đó A’ nằm trên hình tứ giác ban đầu.
Lấy điểm B nằm trên hình tứ giác và nằm trên đường thẳng d.
Ta thấy \(B{\rm{ }} = {\rm{ }}{Đ_d}\left( B \right).\)
Tương tự như vậy, ta chọn các điểm khác bất kì nằm trên hình tứ giác, ta cũng xác định được ảnh của các điểm đó qua Đd trên hình tứ giác ban đầu.
Do đó Đd biến hình tứ giác đã cho thành chính nó.
Vậy đường thẳng d như hình vẽ là trục đối xứng của hình tứ giác đã cho.
+ Ta xét hình lục giác:
Chọn đường thẳng m là đường trung trực của hai cạnh đối như hình vẽ.
Lấy điểm I nằm trên hình lục giác nhưng không nằm trên đường thẳng m.
Ta đặt \(I'{\rm{ }} = {\rm{ }}{Đ_m}\left( I \right).\)
Khi đó I’ nằm trên hình lục giác ban đầu.
Lấy điểm J nằm trên hình lục giác và nằm trên đường thẳng m.
Ta thấy \(J{\rm{ }} = {\rm{ }}{Đ_m}\left( J \right).\)
Tương tự như vậy, ta chọn các điểm khác bất kì nằm trên hình lục giác, ta cũng xác định được ảnh của các điểm đó qua Đm trên hình lục giác ban đầu.
Do đó \({Đ_m}\;\) biến hình lục giác đã cho thành chính nó.
Vậy đường thẳng m như hình vẽ là trục đối xứng của hình lục giác đã cho.
Chú ý: Hình lục giác đều có 3 trục đối xứng \(\left( {m,{\rm{ }}m',{\rm{ }}m''} \right).\)
+ Ta xét hình tam giác cân:
Chọn đường thẳng n là đường trung trục của cạnh đáy như hình vẽ.
Lấy điểm E nằm trên hình tam giác nhưng không nằm trên đường thẳng n.
Ta đặt \(E'{\rm{ }} = {\rm{ }}{Đ_n}\left( E \right).\)
Khi đó E’ nằm trên hình tam giác ban đầu.
Lấy điểm F nằm trên hình tam giác và nằm trên đường thẳng n.
Ta thấy \(F{\rm{ }} = {\rm{ }}{Đ_n}\left( F \right).\)
Tương tự như vậy, ta chọn các điểm khác bất kì nằm trên hình tam giác, ta cũng xác định được ảnh của các điểm đó qua Đn trên hình tam giác ban đầu.
Do đó \({Đ_n}\;\) biến hình tam giác đã cho thành chính nó.
Vậy đường thẳng n là trục đối xứng của hình tam giác đã cho.
+ Ta xét hình bông tuyết:
Chọn đường thẳng \({x_1}\;\) như hình vẽ.
Lấy điểm G nằm trên hình bông tuyết nhưng không nằm trên đường thẳng \({x_1}\;\).
Ta đặt \(G' = {Đ_{{x_1}}}\left( G \right)\)
Khi đó G’ nằm trên hình bông tuyết ban đầu.
Lấy điểm H nằm trên hình bông tuyết và nằm trên đường thẳng x1.
Ta thấy \(H = {Đ_{{x_1}}}\left( H \right)\)
Tương tự như vậy, ta chọn các điểm khác bất kì nằm trên hình bông tuyết, ta cũng xác định được ảnh của các điểm đó qua trên hình bông tuyết ban đầu.
Do đó \({Đ_{{x_1}}}\) biến hình bông tuyết đã cho thành chính nó.
Vậy đường thẳng \({x_1}\) như hình vẽ là trục đối xứng của hình bông tuyết đã cho.
Chú ý: Hình bông tuyết này có 6 trục đối xứng \(({x_1},{\rm{ }}{x_2},{\rm{ }}{x_3},{\rm{ }}{x_4},{\rm{ }}{x_5},{\rm{ }}{x_6}).\)
+ Ta xét hình con sao biển:
Chọn đường thẳng y1 như hình vẽ.
Lấy điểm P nằm trên hình con sao biển nhưng không nằm trên đường thẳng y1.
Ta đặt \(P' = {Đ_{{y_1}}}\left( P \right)\)
Khi đó P’ nằm trên hình con sao biển ban đầu.
Lấy điểm Q nằm trên hình con sao biển và nằm trên đường thẳng y.
Ta thấy \(Q = {Đ_{{y_1}}}\left( Q \right)\)
Tương tự như vậy, ta chọn các điểm khác bất kì nằm trên hình con sao biển, ta cũng xác định được ảnh của các điểm đó qua \({Đ_{{y_1}}}\) trên hình con sao biển ban đầu.
Do đó \({Đ_{{y_1}}}\) biến hình con sao biển đã cho thành chính nó.
Vậy đường thẳng \({y_1}\) như hình vẽ là trục đối xứng của hình con sao biển đã cho.
Chú ý: Hình con sao biển có 5 trục đối xứng \(({y_1},{\rm{ }}{y_2},{\rm{ }}{y_3},{\rm{ }}{y_4},{\rm{ }}{y_5}).\)
Trọng Tâm Kiến Thức Cần Nắm Trong Bài Học Giải mục 3 trang 17, 18 Chuyên đề học tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo
Bài học Giải mục 3 trang 17, 18 Chuyên đề học tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo mang đến những khái niệm mới có tính bản lề, đóng vai trò kết nối kiến thức của chương trước và mở ra tư duy cho những bài học tiếp theo trong môn Toán học. Đối với học sinh lớp 11, việc vượt qua những rào cản nhận thức ban đầu là vô cùng quan trọng. Trước khi bắt tay vào giải bài tập phần "Vận dụng", học sinh cần phải thực sự hiểu rõ và ghi nhớ các định nghĩa, định lý hay các quy luật xã hội đã được trình bày trong sách . Đội ngũ biên soạn của chúng tôi đã cẩn thận tổng hợp lại những điểm mù kiến thức mà học sinh thường hay nhầm lẫn nhất ở phần đầu của lời giải. Bằng cách ôn tập lại lý thuyết thông qua phần tóm tắt này, bạn sẽ xây dựng được một nền móng vững chãi, từ đó việc giải quyết các câu hỏi thực hành phức tạp phía sau sẽ trở nên nhẹ nhàng và logic hơn rất nhiều.
Phân Tích Chuyên Sâu Từng Bước Giải Bài Tập (Step-by-step Solution)
Sự khác biệt lớn nhất của một bài hướng dẫn giải chuẩn mực so với một cuốn sách bài giải thông thường trên thị trường chính là tính tương tác và độ chi tiết. Đối với các câu hỏi trong bài Giải mục 3 trang 17, 18 Chuyên đề học tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo, chúng tôi áp dụng mô hình phân tích 3 bước (3-Step Analysis) vô cùng chặt chẽ:
- Bước 1 - Khai thác giả thiết: Phân tích đề bài xem đề bài đã cho chúng ta những dữ kiện định lượng/định tính nào. Việc tóm tắt đề bài một cách khoa học giúp loại bỏ các thông tin nhiễu không cần thiết.
- Bước 2 - Lựa chọn công cụ giải (Phương pháp): Dựa vào đặc điểm của môn Toán học lớp 11, chúng tôi sẽ chỉ ra rõ tại sao lại sử dụng công thức này mà không dùng công thức khác, hay tại sao lại phải phân tích vấn đề theo hướng này.
- Bước 3 - Triển khai và Biện luận kết quả: Trình bày chi tiết từng dòng tính toán, từng câu lập luận để đi đến kết quả cuối cùng. Đặc biệt, chúng tôi luôn có phần kiểm tra lại (check) để chắc chắn kết quả tìm được thỏa mãn điều kiện bài toán.
Gợi Ý Các Mẹo Giải Nhanh Và Mở Rộng Kiến Thức Thực Tiễn
Sau khi đã nắm vững phương pháp giải bài bản, tự luận, học sinh cần được rèn luyện thêm các kỹ năng xử lý tình huống nhanh để phục vụ cho các bài thi trắc nghiệm khách quan. Trong phần mở rộng của bài Giải mục 3 trang 17, 18 Chuyên đề học tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo, chúng tôi thường xuyên cung cấp các "mẹo" (tips) hoặc công thức tính nhẩm nhanh, hướng dẫn bấm máy tính cầm tay (Casio) cực kỳ hữu ích. Hơn nữa, vì bộ sách luôn đề cao triết lý "mang cuộc sống vào bài học, đưa bài học vào cuộc sống", các giáo viên của chúng tôi sẽ cố gắng liên hệ kết quả của bài toán, bài văn với những hiện tượng thực tiễn xảy ra xung quanh chúng ta. Việc mở rộng kiến thức này không chỉ thỏa mãn sự tò mò của những học sinh khá giỏi, mà còn nuôi dưỡng niềm yêu thích, biến môn Toán học vốn khô khan trở thành một lăng kính thú vị để khám phá thế giới.
Thảo Luận Cùng Chuyên Gia Và Cộng Đồng Học Sinh Toán học
Quá trình tự học chắc chắn sẽ không tránh khỏi những khoảnh khắc bế tắc khi bạn đọc kỹ lời giải bài Giải mục 3 trang 17, 18 Chuyên đề học tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo mà vẫn chưa thực sự "sáng tỏ" một bước lập luận nào đó. Đừng lo lắng! Tính năng bình luận (Comment) phía dưới bài viết được thiết kế chính là để phục vụ cho nhu cầu hỏi đáp (Q&A) này. Hãy mạnh dạn đặt câu hỏi, chỉ rõ chỗ bạn chưa hiểu, đội ngũ cộng tác viên chuyên môn môn Toán học lớp 11 của website sẽ nhanh chóng vào giải đáp và gỡ rối cho bạn. Đồng thời, nếu bạn có một cách giải khác (Alternative Solution) ngắn gọn hơn, sáng tạo hơn cách giải mà chúng tôi cung cấp, hãy tự hào chia sẻ nó lên phần bình luận. Việc cùng nhau thảo luận, tranh biện một vấn đề học thuật không chỉ giúp cộng đồng phát triển mạnh mẽ mà còn là minh chứng rõ nét nhất cho tinh thần hiếu học của thế hệ trẻ Việt Nam.