Đề Thi Thử Tốt Nghiệp Online Môn Toán 2026 Có Lời Giải-Đề 18
Chủ đề:Trắc Nghiệm ToánTrắc Nghiệm Toán Luyện Thi Quốc Gia
Xem thêm thông tin về:Đề Thi Thử Tốt Nghiệp Online Môn Toán 2026 Có Lời Giải-Đề 18
Thực Hành Làm Bài Thi Trắc Nghiệm: Đề Thi Thử Tốt Nghiệp Online Môn Toán 2026 Có Lời Giải-Đề 18
Chào mừng bạn đến với khu vực làm bài thi trực tuyến của đề kiểm tra Đề Thi Thử Tốt Nghiệp Online Môn Toán 2026 Có Lời Giải-Đề 18. Đây là một bộ đề được biên soạn công phu, chọn lọc từ các nguồn tài liệu uy tín, nhằm giúp bạn kiểm tra và củng cố toàn diện lượng kiến thức đã học. Bài trắc nghiệm Đề Thi Thử Tốt Nghiệp Online Môn Toán 2026 Có Lời Giải-Đề 18 được thiết kế mô phỏng chính xác áp lực của một kỳ thi thực tế, tích hợp đồng hồ đếm ngược và hệ thống phân chia câu hỏi ngẫu nhiên (chống gian lận). Để đảm bảo đánh giá đúng năng lực thực chất, bạn hãy chuẩn bị sẵn giấy nháp, máy tính cầm tay (nếu cần), tạo cho mình một không gian yên tĩnh và tập trung cao độ. Khi bạn đã sẵn sàng đối mặt với thử thách, hãy nhấn nút "Bắt đầu làm bài" để trải nghiệm tính năng chấm điểm và phân tích kết quả siêu tốc ngay trên trình duyệt của mình.
Đề Kiểm Tra: Đề Thi Thử Tốt Nghiệp Online Môn Toán 2026 Có Lời Giải-Đề 18
Câu 1:
Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz,\) cho đường thẳng \(d\) có phương trình \(\left\{ \begin{gathered}
x = 1 + 2t \hfill \\
y = – 1 – 3t \hfill \\
z = 5t \hfill \\
\end{gathered} \right..\) Vectơ nào sau đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d?\)
x = 1 + 2t \hfill \\
y = – 1 – 3t \hfill \\
z = 5t \hfill \\
\end{gathered} \right..\) Vectơ nào sau đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d?\)
\({\overrightarrow u _1} = \left( {2;\,\, - 3;\,\,5} \right).\)
Chọn D
Đường thẳng \(d\) có phương trình tham số \(\left\{ \begin{gathered}
x = {x_0} + at \hfill \\
y = {y_0} + bt \hfill \\
z = {z_0} + ct \hfill \\
\end{gathered} \right.\;\;(t \in \mathbb{R})\) có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( {a;\,\,b;\,\,c} \right).\)
Vậy đường thẳng \(d\) có phương trình \(\left\{ \begin{gathered}
x = 1 + 2t \hfill \\
y = – 1 – 3t \hfill \\
z = 5t \hfill \\
\end{gathered} \right.\) có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( {2;\,\, – 3;\,\,5} \right).\)
Đường thẳng \(d\) có phương trình tham số \(\left\{ \begin{gathered}
x = {x_0} + at \hfill \\
y = {y_0} + bt \hfill \\
z = {z_0} + ct \hfill \\
\end{gathered} \right.\;\;(t \in \mathbb{R})\) có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( {a;\,\,b;\,\,c} \right).\)
Vậy đường thẳng \(d\) có phương trình \(\left\{ \begin{gathered}
x = 1 + 2t \hfill \\
y = – 1 – 3t \hfill \\
z = 5t \hfill \\
\end{gathered} \right.\) có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( {2;\,\, – 3;\,\,5} \right).\)
Câu 2:
Tập nghiệm của bất phương trình \({\log _5}x > 2\) là
\(\left( {25;\,\, + \infty } \right).\)
Chọn D
Ta có \({\log _5}x > 2 \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
x > 0 \hfill \\
x > {5^2} \hfill \\
\end{gathered} \right. \Leftrightarrow x > 25.\)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là \(S = \left( {25;\,\, + \infty } \right).\)
Ta có \({\log _5}x > 2 \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
x > 0 \hfill \\
x > {5^2} \hfill \\
\end{gathered} \right. \Leftrightarrow x > 25.\)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là \(S = \left( {25;\,\, + \infty } \right).\)
Câu 3:
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật và \(SA \bot \left( {ABCD} \right).\) Đường thẳng nào sau đây vuông góc với mặt phẳng \(\left( {SAD} \right)?\)
\(AB.\)
Chọn C
Theo giả thiết ta có:
\(\left\{ \begin{gathered}
SA \bot \left( {ABCD} \right) \hfill \\
AB \bot AD \hfill \\
\end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered}
SA \bot AB \hfill \\
AB \bot AD \hfill \\
\end{gathered} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {SAD} \right)\)
Theo giả thiết ta có:
\(\left\{ \begin{gathered}
SA \bot \left( {ABCD} \right) \hfill \\
AB \bot AD \hfill \\
\end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered}
SA \bot AB \hfill \\
AB \bot AD \hfill \\
\end{gathered} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {SAD} \right)\)
Câu 4:
Cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có \({u_3} = 3\) và \({u_4} = 7.\) Công sai của cấp số cộng là
\(4\).
Chọn D
Theo bài ra ta có công sai của cấp số cộng là: \(d = {u_4} – {u_3} = 7 – 3 = 4\)
Theo bài ra ta có công sai của cấp số cộng là: \(d = {u_4} – {u_3} = 7 – 3 = 4\)
Câu 5:
Cho tứ diện \(ABCD,\) \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC.\) Phát biểu nào sau đây là sai?
Chọn C
Theo quy tắc 3 điểm đổi với phép toán trừ ta có: \(\overrightarrow {GD} – \overrightarrow {GA} = \overrightarrow {AD} .\)
Vì \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\) nên ta có: \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 .\)
Ta lại có:
\(\begin{gathered}
\overrightarrow {DA} + \overrightarrow {DB} + \overrightarrow {DC} = \overrightarrow {DG} + \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {DG} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {DG} + \overrightarrow {GC} \hfill \\
= 3\overrightarrow {DG} + (\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} ) = 3\overrightarrow {DG} . \hfill \\
\end{gathered} \)
Theo quy tắc 3 điểm đổi với phép toán trừ ta có: \(\overrightarrow {GD} – \overrightarrow {GA} = \overrightarrow {AD} .\)
Vì \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\) nên ta có: \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 .\)
Ta lại có:
\(\begin{gathered}
\overrightarrow {DA} + \overrightarrow {DB} + \overrightarrow {DC} = \overrightarrow {DG} + \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {DG} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {DG} + \overrightarrow {GC} \hfill \\
= 3\overrightarrow {DG} + (\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} ) = 3\overrightarrow {DG} . \hfill \\
\end{gathered} \)
Câu 6:
Gọi \(\left( H \right)\) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = {x^2},\) trục hoành, trục tung và \(x = 1.\) Tính thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng \(\left( H \right)\) quanh trục \(Ox.\)
\(\frac{1}{5}.\)
Chọn A
Áp dụng công thức tính thể tích khối tròn xoay: \(V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}(x)dx} \)
Ta có: \(V = \pi \int\limits_0^1 {{{\left( {{x^2}} \right)}^2}dx} = \frac{\pi }{5}\).
Áp dụng công thức tính thể tích khối tròn xoay: \(V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}(x)dx} \)
Ta có: \(V = \pi \int\limits_0^1 {{{\left( {{x^2}} \right)}^2}dx} = \frac{\pi }{5}\).
Câu 7:
Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \frac{{3x + 4}}{{x – 1}}\)là đường thẳng
\(y = 3\).
Chọn D
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{3x + 4}}{{x – 1}} = 3\)\( \Rightarrow \)Tiệm cận ngang của hàm sô là \(y = 3\).
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{3x + 4}}{{x – 1}} = 3\)\( \Rightarrow \)Tiệm cận ngang của hàm sô là \(y = 3\).
Câu 8:
Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz,\) cho mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {\left( {y – 2} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 6\). Đường kính của \(\left( S \right)\) bằng
\(2\sqrt 6 \).
Chọn D
Mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {\left( {y – 2} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 6\) có tâm \(I\left( {0\,;\,2\,;\, – 1} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt 6 \).
Vậy đường kính của \(\left( S \right)\) bằng \(2\sqrt 6 \).
Mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {\left( {y – 2} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 6\) có tâm \(I\left( {0\,;\,2\,;\, – 1} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt 6 \).
Vậy đường kính của \(\left( S \right)\) bằng \(2\sqrt 6 \).
Câu 9:
Nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \sin x\) là
\( - \cos x + C\).
Chọn D
Ta có: \(\int {\sin x\,{\text{d}}x} = – \cos x + C\).
Ta có: \(\int {\sin x\,{\text{d}}x} = – \cos x + C\).
Câu 10:
Tập nghiệm của phương trình \(\sin x = 1\) là
\(S = \left\{ {\frac{\pi }{2} + k2\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
Chọn B
\(\sin x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k2\pi .{\text{ }}(k \in \mathbb{Z})\)
\(\sin x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k2\pi .{\text{ }}(k \in \mathbb{Z})\)
Câu 11:
Cho bảng thống kê chiều cao của học sinh lớp 12A và lớp 12B như sau:
Khoảng biến thiên chiều cao lớp 12A và 12B lần lượt là \({\Delta _A},\,\,{\Delta _B}.\) Khẳng định nào sau đây đúng?
Khoảng biến thiên chiều cao lớp 12A và 12B lần lượt là \({\Delta _A},\,\,{\Delta _B}.\) Khẳng định nào sau đây đúng?
\({\Delta _A} = {\Delta _B} + 5.\)
Chọn B
Khoảng biến thiên chiều cao của lớp 12A là \({\Delta _A} = 180 – 150 = 30\)
Khoảng biến thiên chiều cao của lớp 12B là \({\Delta _B} = 185 – 160 = 25\)
Vậy \({\Delta _A} = {\Delta _B} + 5.\)
Khoảng biến thiên chiều cao của lớp 12A là \({\Delta _A} = 180 – 150 = 30\)
Khoảng biến thiên chiều cao của lớp 12B là \({\Delta _B} = 185 – 160 = 25\)
Vậy \({\Delta _A} = {\Delta _B} + 5.\)
Câu 12:
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng nào sau đây?
\(\left( {2\,;\, + \infty } \right)\).
Chọn A
Nhìn vào đồ thị hàm số đã cho, ta thấy hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên các khoảng \(\left( { – 1\,;\,0} \right)\) và \(\left( {2\,;\, + \infty } \right)\).
Nhìn vào đồ thị hàm số đã cho, ta thấy hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên các khoảng \(\left( { – 1\,;\,0} \right)\) và \(\left( {2\,;\, + \infty } \right)\).
Câu 13:
Cho hàm số \(f\left( x \right) = x – {e^x}\). Các mệnh đề sau đúng hay sai?
Giá trị lớn nhất của hàm số \(f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ { - 2;2} \right]\) bằng \(1 - e\).
a) Sai.
Ta có: \(f’\left( x \right) = 1 – {e^x}\). Xét phương trình: \(f’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 1 – {e^x} = 0 \Leftrightarrow {e^x} = 1 \Leftrightarrow x = 0\).
Ta có: \(f\left( { – 2} \right) = – 2 – {e^{ – 2}} = – 2 – \frac{1}{{{e^2}}}\); \(f\left( 2 \right) = 2 – {e^2}\); \(f\left( 0 \right) = – 1\).
Vậy \(\mathop {Max}\limits_{\left[ { – 2;2} \right]} f\left( x \right) = – 1\) khi \(x = 0\).
b) Đúng.
Ta có: \(f\left( 1 \right) = 1 – {e^1} = 1 – e < 0\).
c) Sai.
Ta có: \(f’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 1 – {e^x} = 0 \Leftrightarrow {e^x} = 1 \Leftrightarrow x = 0\)
d) Đúng.
Ta có: \(f’\left( x \right) = 1 – {e^x}\).
Ta có: \(f’\left( x \right) = 1 – {e^x}\). Xét phương trình: \(f’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 1 – {e^x} = 0 \Leftrightarrow {e^x} = 1 \Leftrightarrow x = 0\).
Ta có: \(f\left( { – 2} \right) = – 2 – {e^{ – 2}} = – 2 – \frac{1}{{{e^2}}}\); \(f\left( 2 \right) = 2 – {e^2}\); \(f\left( 0 \right) = – 1\).
Vậy \(\mathop {Max}\limits_{\left[ { – 2;2} \right]} f\left( x \right) = – 1\) khi \(x = 0\).
b) Đúng.
Ta có: \(f\left( 1 \right) = 1 – {e^1} = 1 – e < 0\).
c) Sai.
Ta có: \(f’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 1 – {e^x} = 0 \Leftrightarrow {e^x} = 1 \Leftrightarrow x = 0\)
d) Đúng.
Ta có: \(f’\left( x \right) = 1 – {e^x}\).
Câu 14:
Trên quốc lộ, một mô tô đang di chuyển từ Cần Thơ đến Sóc Trăng với vận tốc \(50\,\mathrm{km/h}\).
Cùng lúc đó một ô tô đang di chuyển từ Sóc Trăng đến Cần Thơ với vận tốc \(30\,\mathrm{km/h}\), sau 6 phút di chuyển, thì ô tô bắt đầu tăng tốc với vận tốc \(v(t)=\frac{25}{9}t+b\,\left(\mathrm{m/s}\right)\), với \(t\) là thời gian kể từ lúc ô tô bắt đầu tăng tốc.
Giả sử khi đạt đến tốc độ \(60\,\mathrm{km/h}\) thì ô tô giữ nguyên vận tốc.
Cùng lúc đó một ô tô đang di chuyển từ Sóc Trăng đến Cần Thơ với vận tốc \(30\,\mathrm{km/h}\), sau 6 phút di chuyển, thì ô tô bắt đầu tăng tốc với vận tốc \(v(t)=\frac{25}{9}t+b\,\left(\mathrm{m/s}\right)\), với \(t\) là thời gian kể từ lúc ô tô bắt đầu tăng tốc.
Giả sử khi đạt đến tốc độ \(60\,\mathrm{km/h}\) thì ô tô giữ nguyên vận tốc.
Quãng đường xe mô tô đi được sau 10 phút là \(5\,\,{\text{km}}{\text{.}}\)
a) Sai.
Đổi 10 phút = \(\frac{1}{6}\) giờ.
Quãng đường xe mô tô đi được sau 10 phút là: \(50\cdot \frac{1}{6}=\frac{25}{3}\) km.
Đổi 10 phút = \(\frac{1}{6}\) giờ.
Quãng đường xe mô tô đi được sau 10 phút là: \(50\cdot \frac{1}{6}=\frac{25}{3}\) km.
Câu 15:
Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \(A\left( {6; – 10;3} \right)\), mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {0;2; – 3} \right)\), bán kính bằng \(2\sqrt 6 \) và mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) có phương trình \(x + y = 0.\)
Khoảng cách từ điểm \(I\) đến mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) bằng \(2.\)
a) Đúng.
Xét \(\overrightarrow{IA}=\left(6;-12;6\right)\Rightarrow IA=6\sqrt{6}>R=2\sqrt{6}\). Khi đó điểm \(A\) nằm ngoài mặt cầu \(\left(S\right)\).
Xét \(\overrightarrow{IA}=\left(6;-12;6\right)\Rightarrow IA=6\sqrt{6}>R=2\sqrt{6}\). Khi đó điểm \(A\) nằm ngoài mặt cầu \(\left(S\right)\).
Câu 16:
Một nhà máy có hai phân xưởng cùng sản xuất một loại sản phẩm. Phân xưởng A và B lần lượt sản xuất \(55\% \) và \(45\% \) tổng số sản phẩm của nhà máy. Tỉ lệ sản phẩm tốt của phân xưởng A và B lần lượt là \(90\% \) và \(95\% .\) Lấy ngẫu nhiên một sản phẩm trong kho hàng của nhà máy.
Biết rằng sản phẩm lấy ra là sản phẩm tốt, xác suất sản phẩm đó do phân xưởng A sản xuất lớn hơn 0,55.
a) Đúng.
Gọi A: “Sản phẩm lấy ra do phân xưởng A sản xuất”;
B: “Sản phẩm lấy ra do phân xưởng B sản xuất”.
Theo giả thiết, ta có \(P\left( A \right) = 0,55;\,\,P\left( B \right) = 0,45\).
b) Sai.
Gọi T: “Sản phẩm lấy ra là sản phẩm tốt”.
Theo giả thiết, ta có \(P\left( {T|A} \right) = 0,9;\,\,P\left( {T|B} \right) = 0,95\).
Biết rằng sản phẩm lấy ra là sản phẩm tốt, xác suất sản phẩm đó do phân xưởng A sản xuất là xác suất có điều kiện \(P\left( {A|T} \right)\).
Theo công thức xác suất toàn phần, ta có:
\(\begin{gathered}
P\left( T \right) & = P\left( {T|A} \right).P\left( A \right) + P\left( {T|B} \right).P\left( B \right) \hfill \\
& = 0,9\,.\,0,55 + 0,95\,.\,0,45 \hfill \\
& = 0,9225 \hfill \\
\end{gathered} \)
Theo công thức Bayes, ta có: \(P\left( {A|T} \right) = \frac{{P\left( {T|A} \right).P\left( A \right)}}{{P\left( T \right)}} = \frac{{0,9\,.\,0,55}}{{0,9225}} = \frac{{22}}{{41}} < 0,55\).
c) Sai.
Biết rằng sản phẩm lấy ra là phế phẩm, xác suất sản phẩm đó do phân xưởng B sản xuất là xác suất có điều kiện \(P\left( {B|\overline T } \right)\).
Ta có: \(P\left( {\overline T } \right) = 1 – P\left( T \right) = 0,0775\) và \(P\left( {\overline T |B} \right) = 1 – P\left( {T|B} \right) = 0,05\)
Theo công thức Bayes, ta có: \(P\left( {B|\overline T } \right) = \frac{{P\left( {\overline T |B} \right).P\left( B \right)}}{{P\left( {\overline T } \right)}} = \frac{{0,05\,.\,0,45}}{{0,0775}} = \frac{9}{{31}} > 0,25\).
d) Đúng.
Xác suất để sản phẩm lấy ra là sản phẩm tốt và là sản phẩm do phân xưởng A sản xuất, chính là xác suất của biến cố giao \(P\left( {T \cap A} \right) = P\left( {T|A} \right).P\left( A \right) = 0,9\,.\,0,55 = 0,495\).
Do đó, số sản phẩm tốt do phân xưởng A sản xuất là \(16\,\,800\,.\,0,495 = 8\,\,316\)(sản phẩm).
Tương tự, ta có \(P\left( {T \cap B} \right) = P\left( {T|B} \right).P\left( B \right) = 0,95\,.\,0,45 = 0,4275\), và số sản phẩm tốt do phân xưởng B sản xuất là \(1\,6\,\,800\,.\,0,4275 = 7\,\,182\)(sản phẩm).
Vậy số sản phẩm tốt do phân xưởng A sản xuất nhiều hơn số sản phẩm tốt do phân xưởng B sản xuất là \(8\,\,316 – 7\,\,182 = 1\,\,134\)(sản phẩm).
Gọi A: “Sản phẩm lấy ra do phân xưởng A sản xuất”;
B: “Sản phẩm lấy ra do phân xưởng B sản xuất”.
Theo giả thiết, ta có \(P\left( A \right) = 0,55;\,\,P\left( B \right) = 0,45\).
b) Sai.
Gọi T: “Sản phẩm lấy ra là sản phẩm tốt”.
Theo giả thiết, ta có \(P\left( {T|A} \right) = 0,9;\,\,P\left( {T|B} \right) = 0,95\).
Biết rằng sản phẩm lấy ra là sản phẩm tốt, xác suất sản phẩm đó do phân xưởng A sản xuất là xác suất có điều kiện \(P\left( {A|T} \right)\).
Theo công thức xác suất toàn phần, ta có:
\(\begin{gathered}
P\left( T \right) & = P\left( {T|A} \right).P\left( A \right) + P\left( {T|B} \right).P\left( B \right) \hfill \\
& = 0,9\,.\,0,55 + 0,95\,.\,0,45 \hfill \\
& = 0,9225 \hfill \\
\end{gathered} \)
Theo công thức Bayes, ta có: \(P\left( {A|T} \right) = \frac{{P\left( {T|A} \right).P\left( A \right)}}{{P\left( T \right)}} = \frac{{0,9\,.\,0,55}}{{0,9225}} = \frac{{22}}{{41}} < 0,55\).
c) Sai.
Biết rằng sản phẩm lấy ra là phế phẩm, xác suất sản phẩm đó do phân xưởng B sản xuất là xác suất có điều kiện \(P\left( {B|\overline T } \right)\).
Ta có: \(P\left( {\overline T } \right) = 1 – P\left( T \right) = 0,0775\) và \(P\left( {\overline T |B} \right) = 1 – P\left( {T|B} \right) = 0,05\)
Theo công thức Bayes, ta có: \(P\left( {B|\overline T } \right) = \frac{{P\left( {\overline T |B} \right).P\left( B \right)}}{{P\left( {\overline T } \right)}} = \frac{{0,05\,.\,0,45}}{{0,0775}} = \frac{9}{{31}} > 0,25\).
d) Đúng.
Xác suất để sản phẩm lấy ra là sản phẩm tốt và là sản phẩm do phân xưởng A sản xuất, chính là xác suất của biến cố giao \(P\left( {T \cap A} \right) = P\left( {T|A} \right).P\left( A \right) = 0,9\,.\,0,55 = 0,495\).
Do đó, số sản phẩm tốt do phân xưởng A sản xuất là \(16\,\,800\,.\,0,495 = 8\,\,316\)(sản phẩm).
Tương tự, ta có \(P\left( {T \cap B} \right) = P\left( {T|B} \right).P\left( B \right) = 0,95\,.\,0,45 = 0,4275\), và số sản phẩm tốt do phân xưởng B sản xuất là \(1\,6\,\,800\,.\,0,4275 = 7\,\,182\)(sản phẩm).
Vậy số sản phẩm tốt do phân xưởng A sản xuất nhiều hơn số sản phẩm tốt do phân xưởng B sản xuất là \(8\,\,316 – 7\,\,182 = 1\,\,134\)(sản phẩm).
Câu 17:
Bánh tráng sau khi tráng, người ta sẽ đặt chúng trên tấm liếp tre rồi phơi nắng. Trên mặt đất phẳng, người ta dựng tấm liếp tre (xem như đoạn thẳng \(AB\)) có chiều dài bằng 3 m và tạo với mặt đất một góc \(60^\circ \). Tại một thời điểm dưới ánh sáng mặt trời, bóng \(BC\)của tấm liếp tre (đoạn thẳng \(BC\)) trên mặt đất dài 3,6 m và tạo với tấm liếp một góc bằng \(120^\circ \) (tức là \(\widehat {ABC} = 120^\circ \)) (hình vẽ bên dưới).
Góc giữa mặt đất và đường thẳng chứa tia sáng mặt trời tại thời điểm nói trên bằng bao nhiêu độ? (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
Góc giữa mặt đất và đường thẳng chứa tia sáng mặt trời tại thời điểm nói trên bằng bao nhiêu độ? (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
Trả lời: \(27\).Cách 1.
Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của điểm \(A\) xuống mặt đất. Khi đó góc giữa đường thẳng chứa tia sáng mặt trời \(AC\) và mặt đất chính là góc \(\widehat {ACH}\).
Ta có tấm liếp tre \(AB = 3\) m và tạo với mặt đất góc \({60^\circ }\), nên trong tam giác vuông \(ABH\):
\(AH = AB \cdot \sin {60^\circ } = 3 \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{3\sqrt 3 }}{2}\) m.
\(BH = AB \cdot \cos {60^\circ } = 3 \cdot \frac{1}{2} = 1,5\) m.
Vì \(BC\) nằm trên mặt đất và \(\widehat {ABC} = {120^\circ }\), nên hình chiếu của \(BA\) xuống mặt đất là \(BH\) nằm ngược hướng với \(BC\).
Do đó \(H,B,C\) thẳng hàng và \(B\) nằm giữa \(H\) và \(C\).
Suy ra: \(CH = BH + BC = 1,5 + 3,6 = 5,1\) m.
Xét tam giác vuông \(ACH\), gọi \(\alpha \) là góc giữa tia sáng \(AC\) và mặt đất. Khi đó:
\(\tan \alpha = \frac{{AH}}{{CH}} = \frac{{\frac{{3\sqrt 3 }}{2}}}{{5,1}} = \frac{{3\sqrt 3 }}{{10,2}} \approx 0,5094\).
Suy ra: \(\alpha \approx \arctan 0,5094 \approx {27^\circ }\).
Vậy góc giữa mặt đất và đường thẳng chứa tia sáng mặt trời tại thời điểm đó xấp xỉ \({27^\circ }\).
Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của điểm \(A\) xuống mặt đất. Khi đó góc giữa đường thẳng chứa tia sáng mặt trời \(AC\) và mặt đất chính là góc \(\widehat {ACH}\).
Ta có tấm liếp tre \(AB = 3\) m và tạo với mặt đất góc \({60^\circ }\), nên trong tam giác vuông \(ABH\):
\(AH = AB \cdot \sin {60^\circ } = 3 \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{3\sqrt 3 }}{2}\) m.
\(BH = AB \cdot \cos {60^\circ } = 3 \cdot \frac{1}{2} = 1,5\) m.
Vì \(BC\) nằm trên mặt đất và \(\widehat {ABC} = {120^\circ }\), nên hình chiếu của \(BA\) xuống mặt đất là \(BH\) nằm ngược hướng với \(BC\).
Do đó \(H,B,C\) thẳng hàng và \(B\) nằm giữa \(H\) và \(C\).
Suy ra: \(CH = BH + BC = 1,5 + 3,6 = 5,1\) m.
Xét tam giác vuông \(ACH\), gọi \(\alpha \) là góc giữa tia sáng \(AC\) và mặt đất. Khi đó:
\(\tan \alpha = \frac{{AH}}{{CH}} = \frac{{\frac{{3\sqrt 3 }}{2}}}{{5,1}} = \frac{{3\sqrt 3 }}{{10,2}} \approx 0,5094\).
Suy ra: \(\alpha \approx \arctan 0,5094 \approx {27^\circ }\).
Vậy góc giữa mặt đất và đường thẳng chứa tia sáng mặt trời tại thời điểm đó xấp xỉ \({27^\circ }\).
Câu 18:
Một xưởng cơ khí sản xuất hai loại sản phẩm là A và \(B.\)Để sản xuất một sản phẩm A phải dùng máy I trong 1 giờ và máy II trong 3 giờ, đối với một sản phẩm B phải dùng máy I trong 2 giờ và máy II trong 2 giờ. Mỗi tuần máy I làm việc tối đa 40 giờ, máy II làm việc tối đa 60 giờ. Mỗi sản phẩm A cho lợi nhuận \(2\) triệu đồng, mỗi sản phẩm B cho lợi nhuận \(1,5\) triệu đồng. Biết rằng sản phẩm sản xuất ra đều bán hết. Hỏi mỗi tuần xưởng cơ khí thu được lợi nhuận cao nhất là bao nhiêu triệu đồng?
Trả lời: \(42,5\)
Gọi số sản phẩm A và số sản phẩm B phân xưởng cần sản xuất trong mỗi tuần lần lượt là \(x\) và \(y\) \(\left( {x,y \geqslant 0} \right)\).
Số tiền lãi trong một tuần phân xưởng thu được từ việc sản xuất \(x\) tấn sản phẩm A và \(y\) tấn sản phẩm B là \(L\left( {x,y} \right) = 2x + 1,5y\) triệu đồng.
Thời gian máy I phải làm việc để sản xuất \(x\) sản phẩm A và \(y\) sản phẩm B là \(x + 2y\) giờ.
Thời gian máy II phải làm việc để sản xuất \(x\) sản phẩm A và \(y\) sản phẩm B là \(3x + 2y\) giờ.
Theo bài ra ta có \(\left\{ \begin{gathered}
x \geqslant 0 \hfill \\
y \geqslant 0 \hfill \\
x + 2y \leqslant 40 \hfill \\
3x + 2y \leqslant 60 \hfill \\
\end{gathered} \right.\) (I)
Bài toán trở thành tìm \(x,\,\,y\) thỏa mãn hệ bất phương trình (I) để hàm số \(L\left( {x,y} \right)\) đạt giá trị lớn nhất.
Biểu diễn miền nghiệm của hệ (I) ta được:
Miền nghiệm của hệ (I) là miền tứ giác \(OCDE\) với \(O\left( {0;0} \right),\,\,C\left( {0;20} \right),\,\,D\left( {10;15} \right),\,E\left( {20;0} \right)\).
Hàm số \(L\left( {x,y} \right)\) đạt giá trị lớn nhất tại một trong các điểm \(O,D,E,C\).
Ta có:
\(\begin{gathered}
L\left( {0,0} \right) = 2.0 + 1,5.0 = 0;\,\,L\left( {20,0} \right) = 2.20 + 1,5.0 = 40;\,\,L\left( {10,15} \right) = 2.10 + 1,5.15 = 42,5;\, \hfill \\
\,L\left( {0,20} \right) = 2.0 + 1,5.20 = 30. \hfill \\
\end{gathered} \)
\(L\left( {x,y} \right)\) đạt giá trị lớn nhất là \(42,5\) tại \(D\left( {10;15} \right)\).
Vậy tiền lãi lớn nhất mà phân xưởng đó có thể thu được trong một tuần là \(42,5\) triệu đồng
Gọi số sản phẩm A và số sản phẩm B phân xưởng cần sản xuất trong mỗi tuần lần lượt là \(x\) và \(y\) \(\left( {x,y \geqslant 0} \right)\).
Số tiền lãi trong một tuần phân xưởng thu được từ việc sản xuất \(x\) tấn sản phẩm A và \(y\) tấn sản phẩm B là \(L\left( {x,y} \right) = 2x + 1,5y\) triệu đồng.
Thời gian máy I phải làm việc để sản xuất \(x\) sản phẩm A và \(y\) sản phẩm B là \(x + 2y\) giờ.
Thời gian máy II phải làm việc để sản xuất \(x\) sản phẩm A và \(y\) sản phẩm B là \(3x + 2y\) giờ.
Theo bài ra ta có \(\left\{ \begin{gathered}
x \geqslant 0 \hfill \\
y \geqslant 0 \hfill \\
x + 2y \leqslant 40 \hfill \\
3x + 2y \leqslant 60 \hfill \\
\end{gathered} \right.\) (I)
Bài toán trở thành tìm \(x,\,\,y\) thỏa mãn hệ bất phương trình (I) để hàm số \(L\left( {x,y} \right)\) đạt giá trị lớn nhất.
Biểu diễn miền nghiệm của hệ (I) ta được:
Miền nghiệm của hệ (I) là miền tứ giác \(OCDE\) với \(O\left( {0;0} \right),\,\,C\left( {0;20} \right),\,\,D\left( {10;15} \right),\,E\left( {20;0} \right)\).
Hàm số \(L\left( {x,y} \right)\) đạt giá trị lớn nhất tại một trong các điểm \(O,D,E,C\).
Ta có:
\(\begin{gathered}
L\left( {0,0} \right) = 2.0 + 1,5.0 = 0;\,\,L\left( {20,0} \right) = 2.20 + 1,5.0 = 40;\,\,L\left( {10,15} \right) = 2.10 + 1,5.15 = 42,5;\, \hfill \\
\,L\left( {0,20} \right) = 2.0 + 1,5.20 = 30. \hfill \\
\end{gathered} \)
\(L\left( {x,y} \right)\) đạt giá trị lớn nhất là \(42,5\) tại \(D\left( {10;15} \right)\).
Vậy tiền lãi lớn nhất mà phân xưởng đó có thể thu được trong một tuần là \(42,5\) triệu đồng
Câu 19:
Hình dáng phần đất liền của hai xã thuộc tỉnh Đồng Tháp được mô hình hóa bởi đồ thị hàm số \(y = \frac{{{x^2} + ax + b}}{{x – 2}}\); biết đồ thị có một điểm cực trị là \(\left( {1\,;\,\,1} \right)\), với hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ, đơn vị trên mỗi trục là 10 mét. Để thuận tiện cho giao thông hai xã, lãnh đạo tỉnh đã phê duyệt dự án xây một chiếc cầu nối phần đất liền của hai xã này. Nhằm tiết kiệm chi phí cho công trình, người kỹ sư trưởng thiết kế có nhiệm vụ nghiên cứu để chọn được hai vị trí A, B trên phần đất liền hai xã sao cho độ dài chiếc cầu (đoạn AB) là ngắn nhất có thể. Hỏi độ dài ngắn nhất của chiếc cầu đó (tính theo đường chim bay) là bao nhiêu mét? (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất)
Trả lời: 43,9
Ta có \(y’ = \frac{{{x^2} – 4x – 2a – b}}{{{{\left( {x – 2} \right)}^2}}}\). Vì \(\left( {1\,;\,\,1} \right)\) là điểm cực trị của đồ thị hàm số nên \(\left\{ \begin{gathered}
y\left( 1 \right) = 1 \hfill \\
y’\left( 1 \right) = 0 \hfill \\
\end{gathered} \right.\)
\( \Rightarrow \left\{ \begin{gathered}
\frac{{1 + a + b}}{{1 – 2}} = 1 \hfill \\
{1^2} – 4 \cdot 1 – 2a – b = 0 \hfill \\
\end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered}
a + b = – 2 \hfill \\
2a + b = – 3 \hfill \\
\end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered}
a = – 1 \hfill \\
b = – 1 \hfill \\
\end{gathered} \right.\).
Hàm số trở thành \(y = \frac{{{x^2} – x – 1}}{{x – 2}} = x + 1 + \frac{1}{{x – 2}},\,\,\,x \ne 2\).
Gọi \(A\left( {2 + a\,;\,\,3 + a + \frac{1}{a}} \right)\,,\,\,B\left( {2 – b\,;\,\,3 – b – \frac{1}{b}} \right)\) là hai điểm thuộc hai nhánh đồ thị với \(a\,,\,\,b > 0\). Ta có: \(A{B^2} = {\left( {a + b} \right)^2} + {\left( {a + b + \frac{1}{a} + \frac{1}{b}} \right)^2} = {\left( {a + b} \right)^2} + {\left( {a + b + \frac{{a + b}}{{ab}}} \right)^2} = {\left( {a + b} \right)^2}\left[ {1 + {{\left( {1 + \frac{1}{{ab}}} \right)}^2}} \right]\)
\( = {\left( {a + b} \right)^2}\left( {2 + \frac{2}{{ab}} + \frac{1}{{{a^2}{b^2}}}} \right)\mathop \geqslant \limits^{AM – GM} 4ab\left( {2 + \frac{2}{{ab}} + \frac{1}{{{a^2}{b^2}}}} \right)\)\( = 8 + 8ab + \frac{4}{{ab}}\mathop \geqslant \limits^{AM – GM} 8 + 8\sqrt 2 \).
Độ dài ngắn nhất của cây cầu (theo đường chim bay) là \(AB \times 10 = \sqrt {8 + 8\sqrt 2 } \times 10 \approx \boxed{43,9}\,\,m\).
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(a = b\) và \(8ab = \frac{4}{{ab}} \Leftrightarrow a = b = \frac{1}{{\sqrt[4]{2}}}\).
Ta có \(y’ = \frac{{{x^2} – 4x – 2a – b}}{{{{\left( {x – 2} \right)}^2}}}\). Vì \(\left( {1\,;\,\,1} \right)\) là điểm cực trị của đồ thị hàm số nên \(\left\{ \begin{gathered}
y\left( 1 \right) = 1 \hfill \\
y’\left( 1 \right) = 0 \hfill \\
\end{gathered} \right.\)
\( \Rightarrow \left\{ \begin{gathered}
\frac{{1 + a + b}}{{1 – 2}} = 1 \hfill \\
{1^2} – 4 \cdot 1 – 2a – b = 0 \hfill \\
\end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered}
a + b = – 2 \hfill \\
2a + b = – 3 \hfill \\
\end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered}
a = – 1 \hfill \\
b = – 1 \hfill \\
\end{gathered} \right.\).
Hàm số trở thành \(y = \frac{{{x^2} – x – 1}}{{x – 2}} = x + 1 + \frac{1}{{x – 2}},\,\,\,x \ne 2\).
Gọi \(A\left( {2 + a\,;\,\,3 + a + \frac{1}{a}} \right)\,,\,\,B\left( {2 – b\,;\,\,3 – b – \frac{1}{b}} \right)\) là hai điểm thuộc hai nhánh đồ thị với \(a\,,\,\,b > 0\). Ta có: \(A{B^2} = {\left( {a + b} \right)^2} + {\left( {a + b + \frac{1}{a} + \frac{1}{b}} \right)^2} = {\left( {a + b} \right)^2} + {\left( {a + b + \frac{{a + b}}{{ab}}} \right)^2} = {\left( {a + b} \right)^2}\left[ {1 + {{\left( {1 + \frac{1}{{ab}}} \right)}^2}} \right]\)
\( = {\left( {a + b} \right)^2}\left( {2 + \frac{2}{{ab}} + \frac{1}{{{a^2}{b^2}}}} \right)\mathop \geqslant \limits^{AM – GM} 4ab\left( {2 + \frac{2}{{ab}} + \frac{1}{{{a^2}{b^2}}}} \right)\)\( = 8 + 8ab + \frac{4}{{ab}}\mathop \geqslant \limits^{AM – GM} 8 + 8\sqrt 2 \).
Độ dài ngắn nhất của cây cầu (theo đường chim bay) là \(AB \times 10 = \sqrt {8 + 8\sqrt 2 } \times 10 \approx \boxed{43,9}\,\,m\).
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(a = b\) và \(8ab = \frac{4}{{ab}} \Leftrightarrow a = b = \frac{1}{{\sqrt[4]{2}}}\).
Câu 20:
Hưởng ứng chính sách hiện đại hóa nông thôn, người dân ở khu phố A đồng lòng cùng nhau góp tiền đổ bê tông một đường đi trong khu phố (phần được tô đậm trong hình vẽ). Biết rằng khi chọn hệ trục tọa độ \(Oxy\) với đơn vị độ dài trên mỗi trục tọa độ là 10 m, các đường cong \(AB,CD\) là mép đường được cho bởi đồ thị hàm số \(f\left( x \right) = \frac{1}{{32}}{x^3} – \frac{3}{8}x + \frac{3}{2}\) và \(g\left( x \right) = \frac{1}{{32}}{x^3} – \frac{5}{8}x + \frac{1}{2}\), đồng thời lớp bê tông được đổ dày 16 cm và giá tiền 1 m3 bê tông là 1 080 000 đồng. Tính số tiền (đơn vị triệu đồng) cần dùng để đổ bê tông con đường đó (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị). 
Trả lời: 253
Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi 2 đường cong AB, CD là:
\(\int\limits_{ – 2}^7 {\left( {\frac{1}{4}x + 1} \right)dx} = \frac{{117}}{8}\).
Vì đơn vị trên mỗi trục là \(10m\)nên diện tích phần đổ bê tông thực tế là:
\(\frac{{117}}{8}.100 = \frac{{2925}}{2}\left( {{m^2}} \right)\).
Thể tích của bê tông để đổ con đương đó là:
\(0,16.\frac{{2925}}{2} = 234\left( {{m^3}} \right)\).
Số tiền cần dùng để đổ bê tông là:
\(1080000.234 = 252720000 \approx 253\)(triệu đồng).
Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi 2 đường cong AB, CD là:
\(\int\limits_{ – 2}^7 {\left( {\frac{1}{4}x + 1} \right)dx} = \frac{{117}}{8}\).
Vì đơn vị trên mỗi trục là \(10m\)nên diện tích phần đổ bê tông thực tế là:
\(\frac{{117}}{8}.100 = \frac{{2925}}{2}\left( {{m^2}} \right)\).
Thể tích của bê tông để đổ con đương đó là:
\(0,16.\frac{{2925}}{2} = 234\left( {{m^3}} \right)\).
Số tiền cần dùng để đổ bê tông là:
\(1080000.234 = 252720000 \approx 253\)(triệu đồng).
Câu 21:
Ở trung tâm nghiên cứu \(X\) có một thiết bị được đặt trên một quả đồi thuộc vùng rừng núi để đo các thông số về thời tiết khí tượng của vùng đó (nhiệt độ, áp suất khí quyển, độ ẩm, mây, gió, mưa…). Cấu tạo bên ngoài của thiết bị gồm hai mặt cầu cắt nhau là \(\left( {{S_1}} \right)\) có tâm \(I\), bán kính bằng \(4m\) và mặt cầu \(\left( {{S_2}} \right)\) có tâm \(J\), bán kính bằng \(2m\). Để đo các thông số cần thiết, người ta lắp đặt một tấm thiết bị điện tử hình chữ nhật \(\left( R \right)\)luôn tiếp xúc với cả hai mặt cầu \(\left( {{S_1}} \right)\), \(\left( {{S_2}} \right)\) và có thể di chuyển quanh các chỏm cầu để truyền tín hiệu tới hộp điều hành (đường truyền không dây). Chọn hệ trục tọa độ \(Oxyz\) trong không gian với độ dài đơn vị trên mỗi trục toạ độ là \(1m\) và \(O\left( {0;0;0} \right)\)là vị trí hộp điều hành thiết bị thì \(I\left( {2;1;1} \right)\) và \(J\left( {2;1;5} \right)\). Khi khoảng cách từ \(O\) đến tấm thiết bị điện tử \(\left( R \right)\) ngắn nhất là lúc đường truyền tín hiệu tốt nhất. Khoảng cách ngắn nhất này bằng bao nhiêu mét? (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm, tham khảo mô tả thiết bị như hình trên).
Trả lời: \(2,56\)
Tấm \(\left( R \right)\) tiếp xúc với mặt cầu \(\left( {{S_1}} \right)\), \(\left( {{S_2}} \right)\) lần lượt tại \(N,M\).
Ta có \(IJ \cap \left( R \right) = \left\{ S \right\}\).
\(JM = 2;IN = 4,JM//IN\) suy ra \(\frac{{SJ}}{{SI}} = \frac{{JM}}{{IN}} = \frac{1}{2} \Rightarrow J\) là trung điểm của \(SI\).
\(I\left( {2;1;1} \right)\) và \(J\left( {2;1;5} \right)\) suy ra \(S\left( {2;1;9} \right)\).
Ta lại có \(\overrightarrow {OI} = \left( {2;1;1} \right) \Rightarrow OI = \sqrt 6 < 4\), \(\overrightarrow {OJ} = \left( {2;1;5} \right) \Rightarrow OJ = \sqrt {30} > 2\) nên gốc tọa độ \(O\) nằm trong mặt cầu \(\left( {{S_1}} \right)\) và ngoài mặt cầu \(\left( {{S_2}} \right)\).
\(\overrightarrow {IJ} = \left( {0;0;4} \right)\) suy ra \(IJ \bot \left( {Oxy} \right)\), \(IJ \cap \left( {Oxy} \right) = K\left( {2;1;0} \right)\), \(OK = \sqrt 5 \).
\(d\left( {O,\left( R \right)} \right) = OT\), \(O{T_{\min }} \Leftrightarrow T \in \left( {SOK} \right)\).
Dễ thấy \(\widehat {MSK} = 30^\circ ,\widehat {TPK} = 60^\circ ,\)\(SK = 9\), \(\tan 60^\circ = \frac{{SK}}{{PK}} \Rightarrow PK = \frac{9}{{\sqrt 3 }}\)\( \Rightarrow OP = \frac{9}{{\sqrt 3 }} – \sqrt 5 \).
Vậy \(\sin 60^\circ = \frac{{OT}}{{PO}} \Rightarrow OT = \frac{{9 – \sqrt {15} }}{2} \approx 2,56\).
Tấm \(\left( R \right)\) tiếp xúc với mặt cầu \(\left( {{S_1}} \right)\), \(\left( {{S_2}} \right)\) lần lượt tại \(N,M\).
Ta có \(IJ \cap \left( R \right) = \left\{ S \right\}\).
\(JM = 2;IN = 4,JM//IN\) suy ra \(\frac{{SJ}}{{SI}} = \frac{{JM}}{{IN}} = \frac{1}{2} \Rightarrow J\) là trung điểm của \(SI\).
\(I\left( {2;1;1} \right)\) và \(J\left( {2;1;5} \right)\) suy ra \(S\left( {2;1;9} \right)\).
Ta lại có \(\overrightarrow {OI} = \left( {2;1;1} \right) \Rightarrow OI = \sqrt 6 < 4\), \(\overrightarrow {OJ} = \left( {2;1;5} \right) \Rightarrow OJ = \sqrt {30} > 2\) nên gốc tọa độ \(O\) nằm trong mặt cầu \(\left( {{S_1}} \right)\) và ngoài mặt cầu \(\left( {{S_2}} \right)\).
\(\overrightarrow {IJ} = \left( {0;0;4} \right)\) suy ra \(IJ \bot \left( {Oxy} \right)\), \(IJ \cap \left( {Oxy} \right) = K\left( {2;1;0} \right)\), \(OK = \sqrt 5 \).
\(d\left( {O,\left( R \right)} \right) = OT\), \(O{T_{\min }} \Leftrightarrow T \in \left( {SOK} \right)\).
Dễ thấy \(\widehat {MSK} = 30^\circ ,\widehat {TPK} = 60^\circ ,\)\(SK = 9\), \(\tan 60^\circ = \frac{{SK}}{{PK}} \Rightarrow PK = \frac{9}{{\sqrt 3 }}\)\( \Rightarrow OP = \frac{9}{{\sqrt 3 }} – \sqrt 5 \).
Vậy \(\sin 60^\circ = \frac{{OT}}{{PO}} \Rightarrow OT = \frac{{9 – \sqrt {15} }}{2} \approx 2,56\).
Câu 22:
Cho các chữ số \(1,2,3,4,5,6,7,8,9\) được đặt dọc theo các cạnh của một tam giác, một chữ số ở mỗi đỉnh và hai chữ số ở phần bên trong của mỗi cạnh. Biết rằng với cấu hình như trong hình vẽ; với các số \(x,y,z\) nằm trên 3 đỉnh và các số \(a,b,c,d,e,f\) nằm bên trên các cạnh. Biết rằng xác suất để tổng các chữ số trên mỗi cạnh bằng nhau là \(\frac{1}{{10a}}\). Tính giá trị của \(a\).
Đáp án: 50,4.
\(x+y+z+a+b+c+d+e+f=45\)
Đặt \(T=x+y+e+f=x+c+d+z=y+a+b+z\).
\(\Rightarrow 2(x+y+z)+a+b+c+d+e+f=3T\).
Mà \(x+y+z+a+b+c+d+e+f=45\).
\(\Rightarrow x+y+z=3T-45\).
\(\Rightarrow x+y+z\in \left\{ 6;9;12;\ldots;24 \right\}\).
\(\Rightarrow T\in \left\{ 17;18;\ldots;23 \right\}\).
Ta có:
\(\left\{ {\begin{array}{l} e+f=T-\left(x+y\right)\\ c+d=T-\left(x+z\right)\\ a+b=T-\left(y+z\right) \end{array}} \right.\)
Có \(3!\) hoán vị \(\left(x;y;z\right)\).
Có \(2!\) hoán vị mỗi cặp \(\left(e;f\right)\), \(\left(c;d\right)\), \(\left(a;b\right)\).
\(\Rightarrow\) Mỗi bộ có \(2\cdot 2\cdot 2\cdot 3!=48\) cách.
\(x+y+z+a+b+c+d+e+f=45\)
Đặt \(T=x+y+e+f=x+c+d+z=y+a+b+z\).
\(\Rightarrow 2(x+y+z)+a+b+c+d+e+f=3T\).
Mà \(x+y+z+a+b+c+d+e+f=45\).
\(\Rightarrow x+y+z=3T-45\).
\(\Rightarrow x+y+z\in \left\{ 6;9;12;\ldots;24 \right\}\).
\(\Rightarrow T\in \left\{ 17;18;\ldots;23 \right\}\).
Ta có:
\(\left\{ {\begin{array}{l} e+f=T-\left(x+y\right)\\ c+d=T-\left(x+z\right)\\ a+b=T-\left(y+z\right) \end{array}} \right.\)
Có \(3!\) hoán vị \(\left(x;y;z\right)\).
Có \(2!\) hoán vị mỗi cặp \(\left(e;f\right)\), \(\left(c;d\right)\), \(\left(a;b\right)\).
\(\Rightarrow\) Mỗi bộ có \(2\cdot 2\cdot 2\cdot 3!=48\) cách.
Giải thích & Đáp án chi tiết
Câu 1
Đáp án đúng: D
\({\overrightarrow u _1} = \left( {2;\,\, - 3;\,\,5} \right).\)
Câu 2
Đáp án đúng: D
\(\left( {25;\,\, + \infty } \right).\)
Câu 3
Đáp án đúng: C
\(AB.\)
Câu 4
Đáp án đúng: D
\(4\).
Câu 5
Đáp án đúng: A
Câu 6
Đáp án đúng: A
\(\frac{1}{5}.\)
Câu 7
Đáp án đúng: D
\(y = 3\).
Câu 8
Đáp án đúng: D
\(2\sqrt 6 \).
Câu 9
Đáp án đúng: D
\( - \cos x + C\).
Câu 10
Đáp án đúng: B
\(S = \left\{ {\frac{\pi }{2} + k2\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
Câu 11
Đáp án đúng: B
\({\Delta _A} = {\Delta _B} + 5.\)
Câu 12
Đáp án đúng: A
\(\left( {2\,;\, + \infty } \right)\).
Câu 13
Đáp án đúng: A
Giá trị lớn nhất của hàm số \(f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ { - 2;2} \right]\) bằng \(1 - e\).
Câu 14
Đáp án đúng: A
Quãng đường xe mô tô đi được sau 10 phút là \(5\,\,{\text{km}}{\text{.}}\)
Câu 15
Đáp án đúng: C
Khoảng cách từ điểm \(I\) đến mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) bằng \(2.\)
Câu 16
Đáp án đúng: B
Biết rằng sản phẩm lấy ra là sản phẩm tốt, xác suất sản phẩm đó do phân xưởng A sản xuất lớn hơn 0,55.
Câu 17
Đáp án đúng: A
Câu 18
Đáp án đúng: A
Câu 19
Đáp án đúng: A
Câu 20
Đáp án đúng: A
Câu 21
Đáp án đúng: A
Câu 22
Đáp án đúng: A
Hướng Dẫn Thao Tác Trực Tiếp Trên Giao Diện Bài Thi Đề Thi Thử Tốt Nghiệp Online Môn Toán 2026 Có Lời Giải-Đề 18
Để giúp người dùng, đặc biệt là các bạn học sinh lần đầu tiếp xúc với hình thức thi máy tính, dễ dàng thao tác mà không gặp sự cố, bài thi Đề Thi Thử Tốt Nghiệp Online Môn Toán 2026 Có Lời Giải-Đề 18 được lập trình với một giao diện vô cùng đơn giản và thân thiện. Ở góc trên cùng màn hình là hệ thống đồng hồ đếm ngược; khi thời gian kết thúc, hệ thống sẽ tự động khóa bài làm và thu bài. Khung bên trái hiển thị danh sách toàn bộ số thứ tự câu hỏi trong đề, cho phép bạn nhảy (jump) nhanh đến bất kỳ câu hỏi nào mà không cần lật từng trang. Đối với mỗi câu hỏi, bạn chỉ cần sử dụng chuột nhấp vào phương án A, B, C hoặc D mà mình cho là chính xác. Nếu phát hiện sai sót, bạn hoàn toàn có thể click chọn lại một phương án khác trước khi hết giờ. Nếu gặp một câu quá khó, bạn có thể sử dụng chức năng Đánh dấu (Mark/Flag) để tạm thời bỏ qua và quay lại suy nghĩ sau, giúp tối ưu hóa thời gian làm bài hiệu quả nhất.
Phân Tích Kết Quả Và Hệ Thống Lời Giải Chuyên Sâu
Giây phút quan trọng nhất của mọi kỳ thi là lúc nhấn nút "Nộp bài". Khác biệt hoàn toàn với phương pháp truyền thống, hệ thống chấm thi tự động của bài kiểm tra Đề Thi Thử Tốt Nghiệp Online Môn Toán 2026 Có Lời Giải-Đề 18 hoạt động không độ trễ. Ngay lập tức, bạn sẽ nhận được bảng tổng kết chi tiết bao gồm: Tổng số điểm (thang điểm 10 hoặc 100), Thời gian làm bài thực tế, Số câu trả lời đúng, Số câu sai và Số câu chưa làm. Không dừng lại ở việc báo điểm số, bên dưới bảng tổng hợp là một bản đối chiếu đáp án chi tiết. Hệ thống sẽ hiển thị lại từng câu hỏi, đánh dấu tích xanh vào phương án đúng và dấu x chéo đỏ vào phương án bạn chọn sai. Kèm theo đó là một bảng thông báo hiển thị chi tiết phương pháp giải, công thức áp dụng hoặc những ghi chú lưu ý về các bẫy (tricks) thường gặp trong đề thi. Việc học từ những lỗi sai của bài Đề Thi Thử Tốt Nghiệp Online Môn Toán 2026 Có Lời Giải-Đề 18 chính là cách nhanh nhất để nâng cao điểm số của bạn trong tương lai.
Kỹ Năng Kiểm Soát Thời Gian Và Tâm Lý Phòng Thi
Nhiều học sinh dù có nền tảng kiến thức vững vàng nhưng vẫn đạt điểm thấp trong bài thi Đề Thi Thử Tốt Nghiệp Online Môn Toán 2026 Có Lời Giải-Đề 18 do thiếu kỹ năng làm bài trắc nghiệm. Dưới đây là một số chiến thuật thực chiến bạn cần áp dụng:
- Quy tắc "Dễ làm trước, Khó để sau": Đừng tốn quá 2 phút cho một câu hỏi khó. Hãy lướt một vòng và giải quyết triệt để 60% số câu hỏi nhận biết và thông hiểu đầu tiên để nắm chắc điểm trung bình, tạo đà tâm lý thoải mái.
- Kỹ thuật loại trừ phương án nhiễu: Trong 4 phương án, thường sẽ có 2 phương án sai hoàn toàn có thể dễ dàng nhận ra. Việc loại trừ bớt lựa chọn sẽ nâng tỷ lệ đánh lụi đúng lên 50%.
- Phân bổ thời gian: Luôn dành ra ít nhất 3-5 phút cuối giờ để dò lại toàn bộ bài thi Đề Thi Thử Tốt Nghiệp Online Môn Toán 2026 Có Lời Giải-Đề 18, đảm bảo không bỏ sót bất kỳ câu hỏi nào chưa đánh dấu đáp án.
- Giữ vững tâm lý: Việc làm thử bài Đề Thi Thử Tốt Nghiệp Online Môn Toán 2026 Có Lời Giải-Đề 18 nhiều lần với đồng hồ đếm ngược sẽ giúp bạn làm quen với áp lực thời gian, không bị hoảng loạn khi thời gian sắp hết, từ đó duy trì được sự tập trung cao độ nhất.
Lưu Lại Kết Quả Và Đóng Góp Xây Dựng Đề Thi
Một tính năng vô cùng hữu ích trên hệ thống của chúng tôi là Lịch sử làm bài. Mọi kết quả, điểm số của bạn sau khi hoàn thành đề thi Đề Thi Thử Tốt Nghiệp Online Môn Toán 2026 Có Lời Giải-Đề 18 đều được tự động lưu lại trong hồ sơ cá nhân. Bạn có thể xem lại những bài mình đã làm cách đây nhiều tuần để đánh giá sự tiến bộ, hoặc làm lại (retry) chính bài thi đó để xem mình có mắc lại những lỗi sai cũ hay không. Ngoài ra, việc tổ chức các kỳ thi trắc nghiệm trực tuyến đòi hỏi nguồn cơ sở dữ liệu khổng lồ. Mặc dù đề thi Đề Thi Thử Tốt Nghiệp Online Môn Toán 2026 Có Lời Giải-Đề 18 đã được rà soát kỹ lưỡng, nhưng không thể tránh khỏi những sai sót nhỏ giọt về lỗi chính tả (typos) hoặc hiển thị công thức lỗi. Nếu bạn phát hiện ra bất kỳ điều bất thường nào, hãy giúp chúng tôi báo cáo lỗi thông qua nút Báo Cáo Câu Hỏi (Report). Đội ngũ học thuật sẽ tiếp nhận và chỉnh sửa kịp thời, đảm bảo mang đến một môi trường luyện thi hoàn hảo và minh bạch nhất cho cộng đồng học sinh toàn quốc.