Đề Thi Thử Tốt Nghiệp Online Môn Toán 2026 Có Lời Giải-Đề 10
Chủ đề:Trắc Nghiệm ToánTrắc Nghiệm Toán Luyện Thi Quốc Gia
Xem thêm thông tin về:Đề Thi Thử Tốt Nghiệp Online Môn Toán 2026 Có Lời Giải-Đề 10
Thực Hành Làm Bài Thi Trắc Nghiệm: Đề Thi Thử Tốt Nghiệp Online Môn Toán 2026 Có Lời Giải-Đề 10
Chào mừng bạn đến với khu vực làm bài thi trực tuyến của đề kiểm tra Đề Thi Thử Tốt Nghiệp Online Môn Toán 2026 Có Lời Giải-Đề 10. Đây là một bộ đề được biên soạn công phu, chọn lọc từ các nguồn tài liệu uy tín, nhằm giúp bạn kiểm tra và củng cố toàn diện lượng kiến thức đã học. Bài trắc nghiệm Đề Thi Thử Tốt Nghiệp Online Môn Toán 2026 Có Lời Giải-Đề 10 được thiết kế mô phỏng chính xác áp lực của một kỳ thi thực tế, tích hợp đồng hồ đếm ngược và hệ thống phân chia câu hỏi ngẫu nhiên (chống gian lận). Để đảm bảo đánh giá đúng năng lực thực chất, bạn hãy chuẩn bị sẵn giấy nháp, máy tính cầm tay (nếu cần), tạo cho mình một không gian yên tĩnh và tập trung cao độ. Khi bạn đã sẵn sàng đối mặt với thử thách, hãy nhấn nút "Bắt đầu làm bài" để trải nghiệm tính năng chấm điểm và phân tích kết quả siêu tốc ngay trên trình duyệt của mình.
Đề Kiểm Tra: Đề Thi Thử Tốt Nghiệp Online Môn Toán 2026 Có Lời Giải-Đề 10
Câu 1:
Cho hình hộp \(ABCD.A’B’C’D’\) (minh họa như hình).
Phát biểu nào sau đây là đúng?
Phát biểu nào sau đây là đúng?
\(\overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AC'} \).
Chọn C
Ta có \(AA’C’C\) là hình bình hành, theo quy tắc hình bình hành \(\overrightarrow {AA’} + \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AC’} \).
Ta có \(AA’C’C\) là hình bình hành, theo quy tắc hình bình hành \(\overrightarrow {AA’} + \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AC’} \).
Câu 2:
Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy\(ABC\) là tam giác đều cạnh \(a\). Biết \(SA \bot (ABC)\) và \(SA = a\sqrt 3 \). Thể tích của khối chóp \(S.ABC\) là:
\(\frac{{{a^3}}}{4}\).
Chọn D
Vì \(\Delta ABC\) là tam giác đều cạnh \(a\) nên diện tích \(\Delta ABC\) là:\({S_{\Delta ABC}} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\)
Thể tích hình chóp \(S.ABC\) là: \({V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}.\)\(SA\).\({S_{\Delta ABC}}\)\( = \frac{1}{3}a\sqrt 3 .\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{a^3}}}{4}\).
Vì \(\Delta ABC\) là tam giác đều cạnh \(a\) nên diện tích \(\Delta ABC\) là:\({S_{\Delta ABC}} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\)
Thể tích hình chóp \(S.ABC\) là: \({V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}.\)\(SA\).\({S_{\Delta ABC}}\)\( = \frac{1}{3}a\sqrt 3 .\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{a^3}}}{4}\).
Câu 3:
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có các số hạng \({u_2} = 2\,,\,\,{u_3} = 5\). Số hạng \({u_5}\) của cấp số cộng là:
\(11\).
Chọn B
Ta có \(\left\{ \begin{gathered}
{u_2} = {u_1} + d \hfill \\
{u_3} = {u_1} + 2d \hfill \\
\end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
{u_1} + d = 2 \hfill \\
{u_1} + 2d = 5 \hfill \\
\end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
{u_1} = – 1 \hfill \\
d = 3 \hfill \\
\end{gathered} \right.\)
Khi đó \({u_5} = {u_1} + 4d = – 1 + 4.3 = 11\).
Ta có \(\left\{ \begin{gathered}
{u_2} = {u_1} + d \hfill \\
{u_3} = {u_1} + 2d \hfill \\
\end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
{u_1} + d = 2 \hfill \\
{u_1} + 2d = 5 \hfill \\
\end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
{u_1} = – 1 \hfill \\
d = 3 \hfill \\
\end{gathered} \right.\)
Khi đó \({u_5} = {u_1} + 4d = – 1 + 4.3 = 11\).
Câu 4:
Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = {x^3} – 3x + 4\) trên đoạn \(\left[ {0;2} \right]\) bằng
\(2.\)
Chọn A
Ta có:\(y’ = 3{x^2} – 3\)\( \Rightarrow y’ = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
x = – 1 \notin \left[ {0;2} \right] \hfill \\
x = 1 \in \left[ {0;2} \right] \hfill \\
\end{gathered} \right.\).
Nếu \(y = f\left( x \right) = {x^3} – 3x + 4\), khi đó \(f\left( 0 \right) = 4;f\left( 1 \right) = 2;f\left( 2 \right) = 6\).
Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = {x^3} – 3x + 4\) trên đoạn \(\left[ {0;2} \right]\) bằng \(2\).
Ta có:\(y’ = 3{x^2} – 3\)\( \Rightarrow y’ = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
x = – 1 \notin \left[ {0;2} \right] \hfill \\
x = 1 \in \left[ {0;2} \right] \hfill \\
\end{gathered} \right.\).
Nếu \(y = f\left( x \right) = {x^3} – 3x + 4\), khi đó \(f\left( 0 \right) = 4;f\left( 1 \right) = 2;f\left( 2 \right) = 6\).
Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = {x^3} – 3x + 4\) trên đoạn \(\left[ {0;2} \right]\) bằng \(2\).
Câu 5:
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:
Giá trị cực đại của hàm số đã cho bằng
Giá trị cực đại của hàm số đã cho bằng
\(2\).
Chọn C
Dựa vào bảng biến thiên ta có giá trị cực đại của hàm số đã cho bằng \(2\).
Dựa vào bảng biến thiên ta có giá trị cực đại của hàm số đã cho bằng \(2\).
Câu 6:
Tập xác định của hàm số \(y = \frac{1}{{\operatorname{s} {\text{in}}x}}\) là
\(\mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
Chọn B
Điều kiện hàm số xác định: \(\operatorname{s} {\text{in}}x \ne {\text{0}} \Leftrightarrow x \ne k\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
Vậy tập xác định của hàm số \(y = \frac{1}{{\operatorname{s} {\text{in}}x}}\) là: \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
Điều kiện hàm số xác định: \(\operatorname{s} {\text{in}}x \ne {\text{0}} \Leftrightarrow x \ne k\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
Vậy tập xác định của hàm số \(y = \frac{1}{{\operatorname{s} {\text{in}}x}}\) là: \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
Câu 7:
Trong không gian \(Oxyz\), gọi \(M’\) là hình chiếu vuông góc của điểm \(M\left( {2;3; – 1} \right)\) trên trục \(Oy\). Khi đó \(\overrightarrow {MM’} \) có toạ độ là
\(\left( { - 2;0;1} \right)\).
.Lời giải:Chọn C
\(M’\) là hình chiếu vuông góc của điểm \(M\left( {2;3; – 1} \right)\) trên trục \(Oy\), suy ra toạ độ \(M’\left( {0;3;0} \right)\).
Vậy \(\overrightarrow {MM’} = \left( { – 2;0;1} \right)\).
\(M’\) là hình chiếu vuông góc của điểm \(M\left( {2;3; – 1} \right)\) trên trục \(Oy\), suy ra toạ độ \(M’\left( {0;3;0} \right)\).
Vậy \(\overrightarrow {MM’} = \left( { – 2;0;1} \right)\).
Câu 8:
Tập xác định của hàm số \(y = {\log _2}\left( {x – 3} \right)\) là
\(\left( {3\,;\, + \infty } \right).\)
Chọn D
Hàm số xác định khi \(x – 3 > 0 \Leftrightarrow x > 3\).
Tập xác định của hàm số là \(\left( {3\,;\, + \infty } \right)\).
Hàm số xác định khi \(x – 3 > 0 \Leftrightarrow x > 3\).
Tập xác định của hàm số là \(\left( {3\,;\, + \infty } \right)\).
Câu 9:
Cho mẫu số liệu ghép nhóm về khoảng tuổi và số người như bảng sau: Khoảng tuổi
[22; 31)
[31; 40)
[40; 49)
[49; 58)
[58; 67)
[67; 76) Số người
33
23
23
16
16
9 Khoảng tứ phân vị (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm) của mẫu số liệu ghép nhóm đã cho bằng
[22; 31)
[31; 40)
[40; 49)
[49; 58)
[58; 67)
[67; 76) Số người
33
23
23
16
16
9 Khoảng tứ phân vị (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm) của mẫu số liệu ghép nhóm đã cho bằng
\(25,01.\)
Chọn B
Cỡ mẫu \(n = 120.\)
Nhóm chứa \({Q_1}\) là \(\left[ {22\,;\,31} \right)\) nên \({Q_1} = 22 + \frac{{\frac{1}{4}.120}}{{33}}.9 = 30,18\)
Nhóm chứa \({Q_3}\) là \(\left[ {49\,;\,58} \right)\) nên \({Q_3} = 49 + \frac{{\frac{3}{4}.120 – (33 + 23 + 23)}}{{16}}.9 = 55,19\)
Khoảng tứ phân vị là: \(\Delta Q = {Q_3} – {Q_1} = 55,19 – 30,18 = 25,01.\)
Cỡ mẫu \(n = 120.\)
Nhóm chứa \({Q_1}\) là \(\left[ {22\,;\,31} \right)\) nên \({Q_1} = 22 + \frac{{\frac{1}{4}.120}}{{33}}.9 = 30,18\)
Nhóm chứa \({Q_3}\) là \(\left[ {49\,;\,58} \right)\) nên \({Q_3} = 49 + \frac{{\frac{3}{4}.120 – (33 + 23 + 23)}}{{16}}.9 = 55,19\)
Khoảng tứ phân vị là: \(\Delta Q = {Q_3} – {Q_1} = 55,19 – 30,18 = 25,01.\)
Câu 10:
Nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {2026^x}\) là
\(\frac{{{{2026}^x}}}{{\ln 2026}} + C\)
Chọn D
\(\int {{{2026}^x}dx} = \frac{{{{2026}^x}}}{{\ln 2026}} + C\)
\(\int {{{2026}^x}dx} = \frac{{{{2026}^x}}}{{\ln 2026}} + C\)
Câu 11:
Nếu \(\int\limits_{ – 1}^4 {f\left( x \right){\text{d}}x} = 2\) thì \(\int\limits_{ – 1}^4 {\left[ {4 – 3f\left( x \right)} \right]{\text{d}}x} \) bằng
\(14\).
Chọn A
Ta có:
\(\int\limits_{ – 1}^4 {\left[ {4 – 3f\left( x \right)} \right]{\text{d}}x = } \int\limits_{ – 1}^4 {{\text{4d}}x} – 3\int\limits_{ – 1}^4 {f\left( x \right){\text{d}}x} \)
\(\left. { = 4x} \right|_{ – 1}^4 – 3\int\limits_{ – 1}^4 {f\left( x \right){\text{d}}x} = 20 – 3.2 = 14\)
Ta có:
\(\int\limits_{ – 1}^4 {\left[ {4 – 3f\left( x \right)} \right]{\text{d}}x = } \int\limits_{ – 1}^4 {{\text{4d}}x} – 3\int\limits_{ – 1}^4 {f\left( x \right){\text{d}}x} \)
\(\left. { = 4x} \right|_{ – 1}^4 – 3\int\limits_{ – 1}^4 {f\left( x \right){\text{d}}x} = 20 – 3.2 = 14\)
Câu 12:
Mặt cầu tâm \(I\left( { – 3;0;4} \right)\) và bán kính \(R = 4\) có phương trình là
\({(x + 3)^2} + {y^2} + {(z - 4)^2} = 16\).
Chọn C
Phương trình mặt cầu tâm \(I\), bán kính \(R\) là \({(x + 3)^2} + {y^2} + {(z – 4)^2} = 16\).
Phương trình mặt cầu tâm \(I\), bán kính \(R\) là \({(x + 3)^2} + {y^2} + {(z – 4)^2} = 16\).
Câu 13:
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} – x – 1}}{{x + 1}}\) và điểm \(A\left( { – 1;\, – 3} \right)\).
Hàm số \(f\left( x \right)\) nghịch biến trên khoảng \(\left( { - 2\,;\,\,0} \right)\).
a) Đúng.
Ta có \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} – x – 1}}{{x + 1}}\), TXĐ: \(D = \mathbb{R}\left\{ { – 1} \right\}\)
\( \Rightarrow f’\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 2x}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\)
\(f’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{{{x^2} + 2x}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
x = 0 \hfill \\
x = – 2 \hfill \\
\end{gathered} \right.\).
Bảng xét dấu của hàm \(f’\left( x \right)\)
Từ bảng xét dấu trên suy ra hàm số \(f\left( x \right)\) có đúng 2 điểm cực trị.
b) Sai.
Ta có \(f’\left( x \right) < 0 \Leftrightarrow \frac{{{x^2} + 2x}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} < 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
– 2 < x < - 1 \hfill \\
– 1 < x < 0 \hfill \\
\end{gathered} \right.\).
Vậy hàm số \(f\left( x \right)\) không nghịch biến trên khoảng \(\left( { – 2;\,0} \right)\).
c) Đúng.
\(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} – x – 1}}{{x + 1}} = x – 2 + \frac{1}{{x + 1}}\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f\left( x \right) – \left( {x + 2} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {\frac{1}{{x + 1}}} \right] = 0\)
Vậy đường thẳng \(y = x – 2\) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\).
d) Đúng.
Vì điểm \(M\) thuộc đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) nên \(M\left( {m\,;\,\,\frac{{{m^2} – m + 1}}{{m + 1}}} \right)\), \(m \ne – 1\).
\(\overrightarrow {AM} = \left( {m + 1\,;\,\,\frac{{{m^2} – m + 1}}{{m + 1}} + 3} \right)\)
\(A{M^2} = {\left( {m + 1} \right)^2} + {\left( {\frac{{{m^2} – m + 1}}{{m + 1}} + 3} \right)^2}\)
\( = {\left( {m + 1} \right)^2} + {\left( {\frac{{{m^2} + 2m + 4}}{{m + 1}}} \right)^2}\)
\( = {\left( {m + 1} \right)^2} + {\left( {\left( {m + 1} \right) + \frac{3}{{m + 1}}} \right)^2}\)
\( = {\left( {m + 1} \right)^2} + {\left( {m + 1} \right)^2} + {\left( {\frac{3}{{m + 1}}} \right)^2} + 6\)
\( = 2{\left( {m + 1} \right)^2} + {\left( {\frac{3}{{m + 1}}} \right)^2} + 6 \geqslant 6\sqrt 2 + 6\).
Suy ra \(AM \geqslant 3,81\). Vậy \(AM > 2,2\).
Ta có \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} – x – 1}}{{x + 1}}\), TXĐ: \(D = \mathbb{R}\left\{ { – 1} \right\}\)
\( \Rightarrow f’\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 2x}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\)
\(f’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{{{x^2} + 2x}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
x = 0 \hfill \\
x = – 2 \hfill \\
\end{gathered} \right.\).
Bảng xét dấu của hàm \(f’\left( x \right)\)
Từ bảng xét dấu trên suy ra hàm số \(f\left( x \right)\) có đúng 2 điểm cực trị.
b) Sai.
Ta có \(f’\left( x \right) < 0 \Leftrightarrow \frac{{{x^2} + 2x}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} < 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
– 2 < x < - 1 \hfill \\
– 1 < x < 0 \hfill \\
\end{gathered} \right.\).
Vậy hàm số \(f\left( x \right)\) không nghịch biến trên khoảng \(\left( { – 2;\,0} \right)\).
c) Đúng.
\(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} – x – 1}}{{x + 1}} = x – 2 + \frac{1}{{x + 1}}\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f\left( x \right) – \left( {x + 2} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {\frac{1}{{x + 1}}} \right] = 0\)
Vậy đường thẳng \(y = x – 2\) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\).
d) Đúng.
Vì điểm \(M\) thuộc đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) nên \(M\left( {m\,;\,\,\frac{{{m^2} – m + 1}}{{m + 1}}} \right)\), \(m \ne – 1\).
\(\overrightarrow {AM} = \left( {m + 1\,;\,\,\frac{{{m^2} – m + 1}}{{m + 1}} + 3} \right)\)
\(A{M^2} = {\left( {m + 1} \right)^2} + {\left( {\frac{{{m^2} – m + 1}}{{m + 1}} + 3} \right)^2}\)
\( = {\left( {m + 1} \right)^2} + {\left( {\frac{{{m^2} + 2m + 4}}{{m + 1}}} \right)^2}\)
\( = {\left( {m + 1} \right)^2} + {\left( {\left( {m + 1} \right) + \frac{3}{{m + 1}}} \right)^2}\)
\( = {\left( {m + 1} \right)^2} + {\left( {m + 1} \right)^2} + {\left( {\frac{3}{{m + 1}}} \right)^2} + 6\)
\( = 2{\left( {m + 1} \right)^2} + {\left( {\frac{3}{{m + 1}}} \right)^2} + 6 \geqslant 6\sqrt 2 + 6\).
Suy ra \(AM \geqslant 3,81\). Vậy \(AM > 2,2\).
Câu 14:
Cho một chất điểm chuyển động theo quy luật vận tốc \(v\left( t \right)\)(đơn vị: \(m/s\)) có đồ thị như hình vẽ bên. Trong đó đồ thị có dạng các đoạn thẳng tương ứng thời gian \(t\) giây khi \(0 \leqslant t \leqslant 3\) và \(8 \leqslant t \leqslant 15\), biết \(v\left( t \right)\) có dạng đường Parabol tương ứng thời gian \(t\) giây khi \(3 \leqslant t \leqslant 8\).
Vận tốc của chất điểm tại thời điểm \(t = 15\) là \(v\left( {15} \right) = 21\,\left( {m/s} \right)\).
a)Sai
Dựa vào đồ thị \(v\left( {15} \right) = 0\).
b) Sai
Quãng đường chất điểm chuyển động trong \(t\) giây \(\left( {0 \leqslant t \leqslant 3} \right)\) là \(S = \int\limits_0^t {11dt} \,\,\left( m \right)\).
c)Đúng
Trong khoảng thời gian từ \(8\) đến \(15\) giây, đồ thị \(v\left( t \right)\)là một đường thẳng đi qua hai điểm \(\left( {8;21} \right)\) và \(\left( {15;0} \right)\). Ta có: \(v\left( t \right) = at + b\).
Từ giả thiết ta có hệ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{8a + b = 21} \\
{15a + b = 0}
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{a = – 3} \\
{b = 45}
\end{array}} \right.\).
Do đó \(v\left( t \right) = – 3t + 45\,\,\left( {8 \leqslant t \leqslant 15} \right)\).
Quãng đường chất điểm đi được trong khoảng thời gian từ giây thứ 8 đến giây thứ 15 là:
\(S = \int_8^{15} {\left( { – 3t + 45} \right)\,} dt = 73,5\,\left( m \right)\).
d) Sai
Trong khoảng thời gian từ \(3\) đến \(8\) giây đồ thị \(v\left( t \right)\) là một Parabol đi qua \(\left( {3;11} \right),\left( {5;3} \right),\left( {8;21} \right)\) có phương trình dạng: \(v\left( t \right) = a{t^2} + bt + c\).
Từ giả thiết ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{9a + 3b + c = 11} \\
{25a + 5b + c = 3} \\
{64a + 8b + c = 21}
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{a = 2} \\
{b = – 20} \\
{c = 53}
\end{array}} \right.\)
Do đó \(v\left( t \right) = 2{t^2} – 20t + 53\,\,\left( {3 \leqslant t \leqslant 8} \right)\).
Xét trường hợp quãng đường chất điểm đi được từ giây thứ 3 đến giây thứ 8:
\(S = \int\limits_3^8 {v\left( t \right)dt} = \int\limits_3^8 {\left( {2{t^2} – 20t + 53} \right)dt\,\,} \)
\( = \left( {\frac{{2{t^3}}}{3} – 10{t^2} + 53t} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
8 \\
3
\end{array}} \right. = \frac{{115}}{3}\,\,\,\left( m \right)\)
Vận tốc trung bình của chất điểm chuyển động từ giây thứ 3 đến giây thứ 8 là:
\({v_{tb}} = \frac{S}{5} = \frac{{23}}{3} \approx 7,67\,\left( {m/s} \right) > 7\).
Dựa vào đồ thị \(v\left( {15} \right) = 0\).
b) Sai
Quãng đường chất điểm chuyển động trong \(t\) giây \(\left( {0 \leqslant t \leqslant 3} \right)\) là \(S = \int\limits_0^t {11dt} \,\,\left( m \right)\).
c)Đúng
Trong khoảng thời gian từ \(8\) đến \(15\) giây, đồ thị \(v\left( t \right)\)là một đường thẳng đi qua hai điểm \(\left( {8;21} \right)\) và \(\left( {15;0} \right)\). Ta có: \(v\left( t \right) = at + b\).
Từ giả thiết ta có hệ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{8a + b = 21} \\
{15a + b = 0}
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{a = – 3} \\
{b = 45}
\end{array}} \right.\).
Do đó \(v\left( t \right) = – 3t + 45\,\,\left( {8 \leqslant t \leqslant 15} \right)\).
Quãng đường chất điểm đi được trong khoảng thời gian từ giây thứ 8 đến giây thứ 15 là:
\(S = \int_8^{15} {\left( { – 3t + 45} \right)\,} dt = 73,5\,\left( m \right)\).
d) Sai
Trong khoảng thời gian từ \(3\) đến \(8\) giây đồ thị \(v\left( t \right)\) là một Parabol đi qua \(\left( {3;11} \right),\left( {5;3} \right),\left( {8;21} \right)\) có phương trình dạng: \(v\left( t \right) = a{t^2} + bt + c\).
Từ giả thiết ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{9a + 3b + c = 11} \\
{25a + 5b + c = 3} \\
{64a + 8b + c = 21}
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{a = 2} \\
{b = – 20} \\
{c = 53}
\end{array}} \right.\)
Do đó \(v\left( t \right) = 2{t^2} – 20t + 53\,\,\left( {3 \leqslant t \leqslant 8} \right)\).
Xét trường hợp quãng đường chất điểm đi được từ giây thứ 3 đến giây thứ 8:
\(S = \int\limits_3^8 {v\left( t \right)dt} = \int\limits_3^8 {\left( {2{t^2} – 20t + 53} \right)dt\,\,} \)
\( = \left( {\frac{{2{t^3}}}{3} – 10{t^2} + 53t} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
8 \\
3
\end{array}} \right. = \frac{{115}}{3}\,\,\,\left( m \right)\)
Vận tốc trung bình của chất điểm chuyển động từ giây thứ 3 đến giây thứ 8 là:
\({v_{tb}} = \frac{S}{5} = \frac{{23}}{3} \approx 7,67\,\left( {m/s} \right) > 7\).
Câu 15:
Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), đơn vị độ dài trên mỗi trục là 1 kilômét, một trạm thu phát sóng điện thoại di động được đặt ở vị trí \(I(3; – 2;5)\) trên một ngôi làng ven biển và được thiết kế với bán kính phủ sóng là 6 km.
Một người đi tàu đến vị trí có tọa độ \(M( - 2;5;3)\) thì tại vị trí này vẫn có thể sử dụng dịch vụ của trạm thu phát sóng.
a) Đúng. Mặt cầu tâm \(I(3; – 2;5)\), bán kính 6 có phương trình là \({(x – 3)^2} + {(y + 2)^2} + {(z – 5)^2} = 36\).
b) Sai. Ta có\(IM = \sqrt {{{( – 2 – 3)}^2} + {{(5 + 2)}^2} + {{(3 – 5)}^2}} = \sqrt {78} > 6\)nên người đó không thể sử dụng dịch vụ của trạm thu phát sóng.
c) Đúng. Gọi \((P)\) là mặt phẳng đi qua ba điểm \(A(5;7;2),B( – 6;2;3),C(2; – 5; – 3).\)
Khi đó ta có:\(\overrightarrow {AB} = ( – 11; – 5;1),\overrightarrow {AC} = ( – 3; – 12; – 5)\)
Do đó \((P)\) có một vectơ pháp tuyến là\(\vec n = \mid \overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ] = (37; – 58;117)\)
Phương trinh mặt phẳng (P) là:\(37x – 58y + 117z – 13 = 0\)
Vậy khoảng cách từ trạm thu phát sóng dén mặt phằng \((P)\) là
\(d(I,(P)) = \frac{{|37 \cdot 3 – 58 \cdot ( – 2) + 117 \cdot 5 – 13|}}{{\sqrt {{{37}^2} + {{( – 58)}^2} + {{117}^2}} }} \approx 5,89(km)\)
d) Sai. Từ vị tri \(N\left( {2;1;\frac{{55}}{{49}}} \right)\), một người chèo thuyền di chuyển với vectơ vận tốc \(\vec v = (2;3;0)\).
Phương trình tham số của đường thằng \((d)\) đi qua điểm \(N\left( {2;1;\frac{{55}}{{49}}} \right)\) và có vectơ chỉ phương
\(\vec v = (2;3;0){\text{ l\`a }}\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 2 + 2t} \\
{y = 1 + 3t} \\
{z = \frac{{55}}{{49}}}
\end{array}} \right.\)
Sau nửa giờ (tức là khi \(t = \frac{1}{2}\) ), người đó đến vị trí\(N’\left( {3;\frac{5}{2};\frac{{55}}{{49}}} \right)\)
Ta có:
\(IN’ = \sqrt {{{(3 – 3)}^2} + {{\left( {\frac{5}{2} + 2} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{55}}{{49}} – 5} \right)}^2}} \approx 5,94 < 6\)
Vậy ngươi đó có thé sừ dụng dịch vụ của trạm thu phát sóng này.
b) Sai. Ta có\(IM = \sqrt {{{( – 2 – 3)}^2} + {{(5 + 2)}^2} + {{(3 – 5)}^2}} = \sqrt {78} > 6\)nên người đó không thể sử dụng dịch vụ của trạm thu phát sóng.
c) Đúng. Gọi \((P)\) là mặt phẳng đi qua ba điểm \(A(5;7;2),B( – 6;2;3),C(2; – 5; – 3).\)
Khi đó ta có:\(\overrightarrow {AB} = ( – 11; – 5;1),\overrightarrow {AC} = ( – 3; – 12; – 5)\)
Do đó \((P)\) có một vectơ pháp tuyến là\(\vec n = \mid \overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ] = (37; – 58;117)\)
Phương trinh mặt phẳng (P) là:\(37x – 58y + 117z – 13 = 0\)
Vậy khoảng cách từ trạm thu phát sóng dén mặt phằng \((P)\) là
\(d(I,(P)) = \frac{{|37 \cdot 3 – 58 \cdot ( – 2) + 117 \cdot 5 – 13|}}{{\sqrt {{{37}^2} + {{( – 58)}^2} + {{117}^2}} }} \approx 5,89(km)\)
d) Sai. Từ vị tri \(N\left( {2;1;\frac{{55}}{{49}}} \right)\), một người chèo thuyền di chuyển với vectơ vận tốc \(\vec v = (2;3;0)\).
Phương trình tham số của đường thằng \((d)\) đi qua điểm \(N\left( {2;1;\frac{{55}}{{49}}} \right)\) và có vectơ chỉ phương
\(\vec v = (2;3;0){\text{ l\`a }}\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 2 + 2t} \\
{y = 1 + 3t} \\
{z = \frac{{55}}{{49}}}
\end{array}} \right.\)
Sau nửa giờ (tức là khi \(t = \frac{1}{2}\) ), người đó đến vị trí\(N’\left( {3;\frac{5}{2};\frac{{55}}{{49}}} \right)\)
Ta có:
\(IN’ = \sqrt {{{(3 – 3)}^2} + {{\left( {\frac{5}{2} + 2} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{55}}{{49}} – 5} \right)}^2}} \approx 5,94 < 6\)
Vậy ngươi đó có thé sừ dụng dịch vụ của trạm thu phát sóng này.
Câu 16:
Một nhà máy có hai phân xưởng \(A\) và \(B\) tương ứng làm ra \(60\% \)và \(40\% \) sản phẩm của nhà máy. Tỉ lệ phế phẩm của hai phân xưởng \(A\) và \(B\)lần lượt là \(1\% \)và \(2\% \). Chọn ngẫu nhiên một sản phẩm của nhà máy.
Nếu sản phẩm chọn ra thuộc phân xưởng \(A\) thì xác suất để nó không là phế phẩm là \(0,98\).
Gọi \(X\)là biến cố: “ Sản phẩm chọn ra là phế phẩm”; \(I\)là biến cố: “Sản phẩm chọn ra thuộc phân xưởng \(A\)”; \(II\) là biến cố: “Sản phẩm chọn ra thuộc phân xưởng \(B\)”.
Ta có \(P\left( I \right) = 0,6;P\left( {II} \right) = 0,4;\)\(P\left( {X|I} \right) = 0,01;P\left( {X|II} \right) = 0,02\).
a) Sai.
Nếu sản phẩm chọn ra thuộc phân xưởng \(A\) thì xác suất để nó không là phế phẩm là \(P\left( {\overline X |I} \right) = 1 – P\left( {X|I} \right) = 1 – 0,01 = 0,99\).
b) Đúng.
Xác suất để sản phẩm chọn ra là phế phẩm và thuộc phân xưởng \(A\) là \(P\left( {XI} \right) = P\left( {X|I} \right).P\left( I \right) = 0,01.0,6 = 0,006\)
c) Đúng.
Xác suất để sản phẩm chọn ra là phế phẩm là
\(P\left( X \right) = P\left( I \right).P\left( {X|I} \right) + P\left( {II} \right).P\left( {X|II} \right)\)\( = 0,6.0,01 + 0,4.0,02 = 0,014\).
d) Sai.
Nếu sản phẩm chọn ra là phế phẩm thì xác suất để nó thuộc phân xưởng \(A\) là \(P\left( {I|X} \right) = \frac{{P\left( {IX} \right)}}{{P\left( X \right)}} = \frac{{0,006}}{{0,014}} = \frac{3}{7}\).
PHẦN 3: TRẢ LỜI NGẮN
Ta có \(P\left( I \right) = 0,6;P\left( {II} \right) = 0,4;\)\(P\left( {X|I} \right) = 0,01;P\left( {X|II} \right) = 0,02\).
a) Sai.
Nếu sản phẩm chọn ra thuộc phân xưởng \(A\) thì xác suất để nó không là phế phẩm là \(P\left( {\overline X |I} \right) = 1 – P\left( {X|I} \right) = 1 – 0,01 = 0,99\).
b) Đúng.
Xác suất để sản phẩm chọn ra là phế phẩm và thuộc phân xưởng \(A\) là \(P\left( {XI} \right) = P\left( {X|I} \right).P\left( I \right) = 0,01.0,6 = 0,006\)
c) Đúng.
Xác suất để sản phẩm chọn ra là phế phẩm là
\(P\left( X \right) = P\left( I \right).P\left( {X|I} \right) + P\left( {II} \right).P\left( {X|II} \right)\)\( = 0,6.0,01 + 0,4.0,02 = 0,014\).
d) Sai.
Nếu sản phẩm chọn ra là phế phẩm thì xác suất để nó thuộc phân xưởng \(A\) là \(P\left( {I|X} \right) = \frac{{P\left( {IX} \right)}}{{P\left( X \right)}} = \frac{{0,006}}{{0,014}} = \frac{3}{7}\).
PHẦN 3: TRẢ LỜI NGẮN
Câu 17:
Anh Tèo muốn sửa chữa một chiếc thang sắt bị hỏng các thanh ngang và cố định trên cao nên không thể đo trực tiếp được hết. Chỉ đo được độ dài đoạn \(A’B’ = 480{\text{mm}}\) của thang, còn lại phải dựa vào chiếc bóng của thang trên mặt đất, biết tỉ số các độ dài trên mặt đất: \(\frac{{AB}}{{CD}} = 1,2\); \(\frac{{CD}}{{EF}} = 1,0582\); \(\frac{{EF}}{{GH}} = 1,05\); \(\frac{{GH}}{{MN}} = 1,04\).
Tính chiều dài của thanh sắt mà anh Tèo mua để vừa đủ đúng thay thế 5 thanh ngang của thang bị hỏng (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).
Tính chiều dài của thanh sắt mà anh Tèo mua để vừa đủ đúng thay thế 5 thanh ngang của thang bị hỏng (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).
Trả lời: 1964
Theo giả thiết, \(AB,CD,EF,GH,MN\) là hình chiếu song song của các đoạn thẳng song song \(A’B’\), \(C’D’\), \(E’F’\), \(G’H’\) và \(M’N’\) nên \(\frac{{A’B’}}{{AB}} = \frac{{C’D’}}{{CD}} = \frac{{E’F’}}{{EF}} = \frac{{G’H’}}{{GH}} = \frac{{M’N’}}{{MN}}\).
Ta có \(\frac{{A’B’}}{{AB}} = \frac{{C’D’}}{{CD}}\) \( \Rightarrow C’D’ = \frac{{CD}}{{AB}}.A’B’ = \frac{{480}}{{1,2}} = 400\)
Tương tự, ta có \(E’F’ = \frac{{EF}}{{CD}}.C’D’ = \frac{{400}}{{1,0582}} \approx 378\)
\(G’H’ = \frac{{GH}}{{EF}}.E’F’ = \frac{{378}}{{1,05}} \approx 360\).
\(M’N’ = \frac{{MN}}{{GH}}.G’H’ = \frac{{360}}{{1,04}} \approx 346\).
Theo giả thiết, \(AB,CD,EF,GH,MN\) là hình chiếu song song của các đoạn thẳng song song \(A’B’\), \(C’D’\), \(E’F’\), \(G’H’\) và \(M’N’\) nên \(\frac{{A’B’}}{{AB}} = \frac{{C’D’}}{{CD}} = \frac{{E’F’}}{{EF}} = \frac{{G’H’}}{{GH}} = \frac{{M’N’}}{{MN}}\).
Ta có \(\frac{{A’B’}}{{AB}} = \frac{{C’D’}}{{CD}}\) \( \Rightarrow C’D’ = \frac{{CD}}{{AB}}.A’B’ = \frac{{480}}{{1,2}} = 400\)
Tương tự, ta có \(E’F’ = \frac{{EF}}{{CD}}.C’D’ = \frac{{400}}{{1,0582}} \approx 378\)
\(G’H’ = \frac{{GH}}{{EF}}.E’F’ = \frac{{378}}{{1,05}} \approx 360\).
\(M’N’ = \frac{{MN}}{{GH}}.G’H’ = \frac{{360}}{{1,04}} \approx 346\).
Câu 18:
Một nông trại có 5 khu vực cần nối ống nước. Giữa các khu có thể kéo ống với chi phí đã được xác định giống như đồ thị sau (đơn vị tính bằng triệu đồng). Các đường ống phải đi qua tất cả các khu. Chi phí thấp nhất mà chủ nông trại phải chi ra bằng bao nhiêu nghìn đồng?
Trả lời: \(8\)
Ta sử dụng thuật toán láng giềng gần nhất
TH1: Bắt đầu kéo từ Khu E
Đoạn đường ngắn nhất là \(E \to D \to C \to A \to B\)
Chi phí là \(1 + 2 + 2 + 3 = 8\) triệu.
TH2: Bắt đầu kéo từ Khu C
Đoạn đường ngắn nhất là \(C \to A \to B \to D \to E\)
Chi phí là \(2 + 3 + 6 + 1 = 12\) triệu.
TH3: Bắt đầu kéo từ Khu D
Đoạn đường ngắn nhất là \(D \to E \to C \to A \to B\)
Chi phí là \(1 + 4 + 2 + 3 = 10\) triệu.
TH4: Bắt đầu kéo từ Khu A
Đoạn đường ngắn nhất là \(A \to C \to E \to D \to B\)
Chi phí là \(2 + 4 + 1 + 6 = 13\) triệu.
TH5: Bắt đầu kéo từ Khu B
Đoạn đường ngắn nhất là \(B \to A \to C \to E \to D\)
Chi phí là \(3 + 2 + 4 + 1 = 10\) triệu.
Vậy tổng chi phí nhỏ nhất là 8 triệu.
Ta sử dụng thuật toán láng giềng gần nhất
TH1: Bắt đầu kéo từ Khu E
Đoạn đường ngắn nhất là \(E \to D \to C \to A \to B\)
Chi phí là \(1 + 2 + 2 + 3 = 8\) triệu.
TH2: Bắt đầu kéo từ Khu C
Đoạn đường ngắn nhất là \(C \to A \to B \to D \to E\)
Chi phí là \(2 + 3 + 6 + 1 = 12\) triệu.
TH3: Bắt đầu kéo từ Khu D
Đoạn đường ngắn nhất là \(D \to E \to C \to A \to B\)
Chi phí là \(1 + 4 + 2 + 3 = 10\) triệu.
TH4: Bắt đầu kéo từ Khu A
Đoạn đường ngắn nhất là \(A \to C \to E \to D \to B\)
Chi phí là \(2 + 4 + 1 + 6 = 13\) triệu.
TH5: Bắt đầu kéo từ Khu B
Đoạn đường ngắn nhất là \(B \to A \to C \to E \to D\)
Chi phí là \(3 + 2 + 4 + 1 = 10\) triệu.
Vậy tổng chi phí nhỏ nhất là 8 triệu.
Câu 19:
Nhà máy A chuyên sản xuất một loại sản phẩm cho nhà máy \(B.\)Hai nhà máy thỏa thuận rằng: hằng tháng nhà máy A cung cấp cho nhà máy B sản phẩm đó theo đơn đặt hàng của nhà máy B với số lượng tối đa là 100 tấn sản phẩm. Nếu số lượng đặt hàng là \(x\) tấn sản phẩm thì giá bán cho mỗi tấn sản phẩm là \(P\left( x \right) = 45 – 0,001{x^2}\) (triệu đồng). Chi phí để nhà máy A sản xuất \(x\) tấn sản phẩm trong một tháng là \(C\left( x \right) = 100 + 30x\) (triệu đồng), gồm 100 triệu đồng chi phí cố định và 30 triệu đồng cho mỗi tấn sản phẩm. Hỏi nhà máy A bán cho nhà máy B bao nhiêu tấn sản phẩm mỗi tháng thì thu được lợi nhuận lớn nhất? (kết quả làm tròn đến một chữ số thập phân)
Trả lời: \(70,7\)
Nếu mỗi tháng nhà máy A bán cho nhà máy \({\text{B}}x\) tấn sản phẩm thì lợi nhuận của nhà máy A thu được là \(x\left( {45 – 0,001{x^2}} \right) – \left( {100 + 30x} \right) = – 0,001{x^3} + 15x – 100\)
Xét hàm số \(f\left( x \right) = – 0,001{x^3} + 15x – 100\) với \(x \in \left[ {0;100} \right]\).
Tìm giá trị lớn nhất của \(f\left( x \right)\).
Ta có \(f’\left( x \right) = – 0,003{x^2} + 15\);
\(f’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 50\sqrt 2 \) (do \(x \in \left[ {0;100} \right]\)).
Vì \(f\left( 0 \right) = – 100,f\left( {50\sqrt 2 } \right) \approx 607,f\left( {100} \right) = 400\)
Vậy \(f\left( x \right)\) lớn nhất khi \(x = 50\sqrt 2 \approx 70,7\).
Nếu mỗi tháng nhà máy A bán cho nhà máy \({\text{B}}x\) tấn sản phẩm thì lợi nhuận của nhà máy A thu được là \(x\left( {45 – 0,001{x^2}} \right) – \left( {100 + 30x} \right) = – 0,001{x^3} + 15x – 100\)
Xét hàm số \(f\left( x \right) = – 0,001{x^3} + 15x – 100\) với \(x \in \left[ {0;100} \right]\).
Tìm giá trị lớn nhất của \(f\left( x \right)\).
Ta có \(f’\left( x \right) = – 0,003{x^2} + 15\);
\(f’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 50\sqrt 2 \) (do \(x \in \left[ {0;100} \right]\)).
Vì \(f\left( 0 \right) = – 100,f\left( {50\sqrt 2 } \right) \approx 607,f\left( {100} \right) = 400\)
Vậy \(f\left( x \right)\) lớn nhất khi \(x = 50\sqrt 2 \approx 70,7\).
Câu 20:
Một mảnh vườn hoa dạng hình tròn có bán kính \(6m\). Phần đất trồng hoa là phần tô trong hình vẽ bên. Biết hai hình chữ nhật \(ABCD\) và \(MNPQ\) có \(AB = MQ = 6m\) và kinh phí trồng hoa là \(100\,\,000\) đồng /\({m^2}\). Tính số tiền cần để trồng hoa? (đơn vị: triệu đồng, kết quả làm tròn đến hàng phần chục)
Trả lời: 10,2.
Dựng hệ trục tọa độ như hình vẽ.
Diện tích của hình tròn tâm O, bán kính \(6m\) là \(36\pi \) và phương trình của đường tròn đó là \({x^2} + {y^2} = 36.\)
Bên cạnh đó điểm \(N\) có tọa độ \(\left\{ \begin{gathered}
{y_N} = 3 \hfill \\
{x_N} = \sqrt {36 – {3^2}} = 3\sqrt 3 \hfill \\
\end{gathered} \right.\)
Diện tích phần không trồng hoa là \(4.\int\limits_3^{3\sqrt 3 } {\left( {\sqrt {36 – {x^2}} – 3} \right){\text{d}}x} = 3\pi – 9\sqrt 3 + 9.\)
Số tiền cần để trồng hoa là: \(\left[ {36\pi – 12\left( {\pi – 3\sqrt 3 + 3} \right)} \right].0,1 \approx 10,2\)( triệu đồng).
Dựng hệ trục tọa độ như hình vẽ.
Diện tích của hình tròn tâm O, bán kính \(6m\) là \(36\pi \) và phương trình của đường tròn đó là \({x^2} + {y^2} = 36.\)
Bên cạnh đó điểm \(N\) có tọa độ \(\left\{ \begin{gathered}
{y_N} = 3 \hfill \\
{x_N} = \sqrt {36 – {3^2}} = 3\sqrt 3 \hfill \\
\end{gathered} \right.\)
Diện tích phần không trồng hoa là \(4.\int\limits_3^{3\sqrt 3 } {\left( {\sqrt {36 – {x^2}} – 3} \right){\text{d}}x} = 3\pi – 9\sqrt 3 + 9.\)
Số tiền cần để trồng hoa là: \(\left[ {36\pi – 12\left( {\pi – 3\sqrt 3 + 3} \right)} \right].0,1 \approx 10,2\)( triệu đồng).
Câu 21:
Bên trong một căn nhà bỏ hoang hình lập phương cạnh \(5\,\,m\) có 3 chú nhện sinh sống. Mùa đông đến, vì đói rét nên chúng đành quyết định hợp tác với nhau giăng lưới để bắt mồi. Ba chú nhện tính toán sẽ giăng một mảnh lưới hình tam giác theo cách sau: Mỗi chú nhện sẽ đứng ở mép tường bất kì (có thể mép giữa 2 bức tường, giữa tường với trần, hoặc giữa tường với nền) rồi phóng những sợi tơ làm khung đến vị trí của 2 con nhện còn lại rồi sau đó mới phóng tơ dính đan phần lưới bên trong. Chúng quy định không có bất kì 2 con nhện nào cùng nằm trên một mặt tường, nền hoặc trần nhà. Chu vi nhỏ nhất của mảnh lưới được giăng (biết các sợi tơ khung căng và không nhùn) là \(\frac{a}{b}\sqrt c \) với \(a;\,b;\,c \in {\mathbb{N}^*};\,\,\frac{a}{b}\) là phân số tối giản. Tính giá trị của biểu thức \(a + b + c\).
Trả lời: \(33\)
Bài toán này ta sẽ giải quyết bằng cách ứng dụng phương pháp tọa độ trong không gian.
Đặt hệ trục tọa độ như hình vẽ. Không mất tính tổng quát, và dựa vào yêu cầu về vị trí 3 con nhện ta xác định là các điểm \(M,N,P\) nằm trên các cạnh \(A’B’,CC’,AD\) như hình vẽ.
Yêu cầu bài toán là cần tìm tọa độ của 3 điểm \(M,N,P\) để chu vi tam giác \(MNP\) nhỏ nhất.
Đặt \(M\left( {x;5;0} \right),P\left( {0;0;z} \right),N\left( {5;y;5} \right)\). Chu vi tam giác \(MNP\)là:
\(MN + NP + PQ = \sqrt {{{\left( {x – 5} \right)}^2} + {{\left( {y – 5} \right)}^2} + {5^5}} + \sqrt {{5^2} + {y^2} + {{\left( {z – 5} \right)}^2}} + \sqrt {{x^2} + {5^2} + {z^2}} \)
\( = \sqrt {{{\left( {5 – x} \right)}^2} + {{\left( {y – 5} \right)}^2} + {5^2}} + \sqrt {{y^2} + {{\left( {z – 5} \right)}^2} + {5^2}} + \sqrt {{z^2} + {{\left( { – x} \right)}^2} + {5^2}} \)
Áp dụng bất đẳng thức véctơ :
\( \Rightarrow MN + NP + PM \geqslant \sqrt {{{\left( {5 – x + y} \right)}^2} + {{\left( {y + z – 10} \right)}^2} + {{10}^2}} + \sqrt {{z^2} + {{\left( { – x} \right)}^2} + {5^2}} \)
\( \geqslant \sqrt {{{\left( {5 – x + y + z} \right)}^2} + {{\left( {y – 5 + z – 5 – x} \right)}^2} + {{\left( {5 + 5 + 5} \right)}^2}} \)
\( = \sqrt {2{{\left( {y + z – x – \frac{5}{2}} \right)}^2} + \frac{{225}}{2} + {{\left( {5 + 5 + 5} \right)}^2}} \geqslant 15\sqrt {\frac{3}{2}} = 15\frac{{\sqrt 6 }}{2}\)
Dấu bằng xảy ra khi \(\left\{ \begin{gathered}
y + z – x = \frac{5}{2} \hfill \\
\frac{{5 – x}}{y} = \frac{{y – 5}}{{z – 5}} = \frac{5}{5} \hfill \\
\frac{{5 – x + y}}{z} = \frac{{y + z – 10}}{{ – x}} = \frac{{10}}{5} \hfill \\
\end{gathered} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
y = z \hfill \\
2y – x = \frac{5}{2} \hfill \\
x + y = 5 \hfill \\
\end{gathered} \right. \Leftrightarrow x = y = z = \frac{5}{2}\)
Do đó: \(\frac{{15}}{2}\sqrt 6 = \frac{a}{b}\sqrt c \Rightarrow \left\{ \begin{gathered}
a = 15 \hfill \\
b = 2 \hfill \\
c = 6 \hfill \\
\end{gathered} \right..\,\,\,\)
Vậy\(a + b + c = 15 + 12 + 6 = 33\).
Bài toán này ta sẽ giải quyết bằng cách ứng dụng phương pháp tọa độ trong không gian.
Đặt hệ trục tọa độ như hình vẽ. Không mất tính tổng quát, và dựa vào yêu cầu về vị trí 3 con nhện ta xác định là các điểm \(M,N,P\) nằm trên các cạnh \(A’B’,CC’,AD\) như hình vẽ.
Yêu cầu bài toán là cần tìm tọa độ của 3 điểm \(M,N,P\) để chu vi tam giác \(MNP\) nhỏ nhất.
Đặt \(M\left( {x;5;0} \right),P\left( {0;0;z} \right),N\left( {5;y;5} \right)\). Chu vi tam giác \(MNP\)là:
\(MN + NP + PQ = \sqrt {{{\left( {x – 5} \right)}^2} + {{\left( {y – 5} \right)}^2} + {5^5}} + \sqrt {{5^2} + {y^2} + {{\left( {z – 5} \right)}^2}} + \sqrt {{x^2} + {5^2} + {z^2}} \)
\( = \sqrt {{{\left( {5 – x} \right)}^2} + {{\left( {y – 5} \right)}^2} + {5^2}} + \sqrt {{y^2} + {{\left( {z – 5} \right)}^2} + {5^2}} + \sqrt {{z^2} + {{\left( { – x} \right)}^2} + {5^2}} \)
Áp dụng bất đẳng thức véctơ :
\( \Rightarrow MN + NP + PM \geqslant \sqrt {{{\left( {5 – x + y} \right)}^2} + {{\left( {y + z – 10} \right)}^2} + {{10}^2}} + \sqrt {{z^2} + {{\left( { – x} \right)}^2} + {5^2}} \)
\( \geqslant \sqrt {{{\left( {5 – x + y + z} \right)}^2} + {{\left( {y – 5 + z – 5 – x} \right)}^2} + {{\left( {5 + 5 + 5} \right)}^2}} \)
\( = \sqrt {2{{\left( {y + z – x – \frac{5}{2}} \right)}^2} + \frac{{225}}{2} + {{\left( {5 + 5 + 5} \right)}^2}} \geqslant 15\sqrt {\frac{3}{2}} = 15\frac{{\sqrt 6 }}{2}\)
Dấu bằng xảy ra khi \(\left\{ \begin{gathered}
y + z – x = \frac{5}{2} \hfill \\
\frac{{5 – x}}{y} = \frac{{y – 5}}{{z – 5}} = \frac{5}{5} \hfill \\
\frac{{5 – x + y}}{z} = \frac{{y + z – 10}}{{ – x}} = \frac{{10}}{5} \hfill \\
\end{gathered} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
y = z \hfill \\
2y – x = \frac{5}{2} \hfill \\
x + y = 5 \hfill \\
\end{gathered} \right. \Leftrightarrow x = y = z = \frac{5}{2}\)
Do đó: \(\frac{{15}}{2}\sqrt 6 = \frac{a}{b}\sqrt c \Rightarrow \left\{ \begin{gathered}
a = 15 \hfill \\
b = 2 \hfill \\
c = 6 \hfill \\
\end{gathered} \right..\,\,\,\)
Vậy\(a + b + c = 15 + 12 + 6 = 33\).
Câu 22:
Một bàn cờ vua gồm \(8 \times 8\) ô vuông, mỗi ô có cạnh bằng 1 đơn vị. Một ô vừa là hình vuông hay hình chữ nhật, hai ô là hình chữ nhật,. Chọn ngẫu nhiên một hình chữ nhật trên bàn cờ. Xác suất để hình được chọn là một hình vuông có cạnh lớn hơn 4 đơn vị bằng bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?
Trả lời: \(0,02\)
Bàn cờ \(8 \times 8\) cần 9 đoạn thẳng nằm ngang và 9 đoạn thẳng dọc. Ta coi bàn cờ vua được xác định bởi các đường thằng \(x = 0,x = 1, \ldots ,x = 8\) và \(y = 0,y = 1, \ldots ,y = 8\).
Mỗi hình chữ nhật được tạo thành từ hai đường thằng \(x\) và hai đường thằng \(y\) nên có \(C_8^2 \cdot C_8^2\) hình chữ nhật hay không gian mẫu là
\(n(\Omega ) = C_9^2 \cdot C_9^2 = 1296.\)
Gọi \(A\) là biến cố hình được chọn là hình vuông có cạnh \(a\) lớn hơn 4.
Trường hợp 1: \(a = 5\). Khi đó mỗi ô được tạo thành do 2 đường thẳng \(x\) cách nhau 5 đơn vị và hai đường thằng \(y\) cách nhau 5 đơn vị có \(4.4 = 16\) cách chọn.
Trường hợp 2: \(a = 6\). Khi đó mỗi ô được tạo thành do 2 đường thằng \(x\) cách nhau 6 đơn vị và hai đường thẳng \(y\) cách nhau 6 đơn vị có \(3.3 = 9\) cách chọn.
Trường hợp 3: \(a = 7\). Khi đó mỗi ô được tạo thành do 2 đường thằng \(x\) cách nhau 7 đơn vị và hai đường thằng \(y\) cách nhau 7 đơn vị có \(2.2 = 4\) cách chọn.
Trường hợp 3: \(a = 8\). Khi đó mỗi ô được tạo thành do 2 đường thẳng \(x\) cách nhau 8 đơn vị và hai đường thằng \(y\) cách nhau 8 đơn vị có \(1.1 = 1\) cách chọn.
Suy ra \(n(A) = 16 + 9 + 4 + 1 = 30\).
Xác suất để hình được chọn là một hình vuông có cạnh lớn hơn 4 đơn vị là
\(P(A) = \frac{{n(A)}}{{n(\Omega )}} = \frac{{30}}{{1296}} = \frac{5}{{216}}.\)
Bàn cờ \(8 \times 8\) cần 9 đoạn thẳng nằm ngang và 9 đoạn thẳng dọc. Ta coi bàn cờ vua được xác định bởi các đường thằng \(x = 0,x = 1, \ldots ,x = 8\) và \(y = 0,y = 1, \ldots ,y = 8\).
Mỗi hình chữ nhật được tạo thành từ hai đường thằng \(x\) và hai đường thằng \(y\) nên có \(C_8^2 \cdot C_8^2\) hình chữ nhật hay không gian mẫu là
\(n(\Omega ) = C_9^2 \cdot C_9^2 = 1296.\)
Gọi \(A\) là biến cố hình được chọn là hình vuông có cạnh \(a\) lớn hơn 4.
Trường hợp 1: \(a = 5\). Khi đó mỗi ô được tạo thành do 2 đường thẳng \(x\) cách nhau 5 đơn vị và hai đường thằng \(y\) cách nhau 5 đơn vị có \(4.4 = 16\) cách chọn.
Trường hợp 2: \(a = 6\). Khi đó mỗi ô được tạo thành do 2 đường thằng \(x\) cách nhau 6 đơn vị và hai đường thẳng \(y\) cách nhau 6 đơn vị có \(3.3 = 9\) cách chọn.
Trường hợp 3: \(a = 7\). Khi đó mỗi ô được tạo thành do 2 đường thằng \(x\) cách nhau 7 đơn vị và hai đường thằng \(y\) cách nhau 7 đơn vị có \(2.2 = 4\) cách chọn.
Trường hợp 3: \(a = 8\). Khi đó mỗi ô được tạo thành do 2 đường thẳng \(x\) cách nhau 8 đơn vị và hai đường thằng \(y\) cách nhau 8 đơn vị có \(1.1 = 1\) cách chọn.
Suy ra \(n(A) = 16 + 9 + 4 + 1 = 30\).
Xác suất để hình được chọn là một hình vuông có cạnh lớn hơn 4 đơn vị là
\(P(A) = \frac{{n(A)}}{{n(\Omega )}} = \frac{{30}}{{1296}} = \frac{5}{{216}}.\)
Giải thích & Đáp án chi tiết
Câu 1
Đáp án đúng: C
\(\overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AC'} \).
Câu 2
Đáp án đúng: D
\(\frac{{{a^3}}}{4}\).
Câu 3
Đáp án đúng: B
\(11\).
Câu 4
Đáp án đúng: A
\(2.\)
Câu 5
Đáp án đúng: C
\(2\).
Câu 6
Đáp án đúng: B
\(\mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
Câu 7
Đáp án đúng: C
\(\left( { - 2;0;1} \right)\).
Câu 8
Đáp án đúng: D
\(\left( {3\,;\, + \infty } \right).\)
Câu 9
Đáp án đúng: B
\(25,01.\)
Câu 10
Đáp án đúng: D
\(\frac{{{{2026}^x}}}{{\ln 2026}} + C\)
Câu 11
Đáp án đúng: A
\(14\).
Câu 12
Đáp án đúng: C
\({(x + 3)^2} + {y^2} + {(z - 4)^2} = 16\).
Câu 13
Đáp án đúng: B
Hàm số \(f\left( x \right)\) nghịch biến trên khoảng \(\left( { - 2\,;\,\,0} \right)\).
Câu 14
Đáp án đúng: A
Vận tốc của chất điểm tại thời điểm \(t = 15\) là \(v\left( {15} \right) = 21\,\left( {m/s} \right)\).
Câu 15
Đáp án đúng: B
Một người đi tàu đến vị trí có tọa độ \(M( - 2;5;3)\) thì tại vị trí này vẫn có thể sử dụng dịch vụ của trạm thu phát sóng.
Câu 16
Đáp án đúng: A
Nếu sản phẩm chọn ra thuộc phân xưởng \(A\) thì xác suất để nó không là phế phẩm là \(0,98\).
Câu 17
Đáp án đúng: A
Câu 18
Đáp án đúng: A
Câu 19
Đáp án đúng: A
Câu 20
Đáp án đúng: A
Câu 21
Đáp án đúng: A
Câu 22
Đáp án đúng: A
Hướng Dẫn Thao Tác Trực Tiếp Trên Giao Diện Bài Thi Đề Thi Thử Tốt Nghiệp Online Môn Toán 2026 Có Lời Giải-Đề 10
Để giúp người dùng, đặc biệt là các bạn học sinh lần đầu tiếp xúc với hình thức thi máy tính, dễ dàng thao tác mà không gặp sự cố, bài thi Đề Thi Thử Tốt Nghiệp Online Môn Toán 2026 Có Lời Giải-Đề 10 được lập trình với một giao diện vô cùng đơn giản và thân thiện. Ở góc trên cùng màn hình là hệ thống đồng hồ đếm ngược; khi thời gian kết thúc, hệ thống sẽ tự động khóa bài làm và thu bài. Khung bên trái hiển thị danh sách toàn bộ số thứ tự câu hỏi trong đề, cho phép bạn nhảy (jump) nhanh đến bất kỳ câu hỏi nào mà không cần lật từng trang. Đối với mỗi câu hỏi, bạn chỉ cần sử dụng chuột nhấp vào phương án A, B, C hoặc D mà mình cho là chính xác. Nếu phát hiện sai sót, bạn hoàn toàn có thể click chọn lại một phương án khác trước khi hết giờ. Nếu gặp một câu quá khó, bạn có thể sử dụng chức năng Đánh dấu (Mark/Flag) để tạm thời bỏ qua và quay lại suy nghĩ sau, giúp tối ưu hóa thời gian làm bài hiệu quả nhất.
Phân Tích Kết Quả Và Hệ Thống Lời Giải Chuyên Sâu
Giây phút quan trọng nhất của mọi kỳ thi là lúc nhấn nút "Nộp bài". Khác biệt hoàn toàn với phương pháp truyền thống, hệ thống chấm thi tự động của bài kiểm tra Đề Thi Thử Tốt Nghiệp Online Môn Toán 2026 Có Lời Giải-Đề 10 hoạt động không độ trễ. Ngay lập tức, bạn sẽ nhận được bảng tổng kết chi tiết bao gồm: Tổng số điểm (thang điểm 10 hoặc 100), Thời gian làm bài thực tế, Số câu trả lời đúng, Số câu sai và Số câu chưa làm. Không dừng lại ở việc báo điểm số, bên dưới bảng tổng hợp là một bản đối chiếu đáp án chi tiết. Hệ thống sẽ hiển thị lại từng câu hỏi, đánh dấu tích xanh vào phương án đúng và dấu x chéo đỏ vào phương án bạn chọn sai. Kèm theo đó là một bảng thông báo hiển thị chi tiết phương pháp giải, công thức áp dụng hoặc những ghi chú lưu ý về các bẫy (tricks) thường gặp trong đề thi. Việc học từ những lỗi sai của bài Đề Thi Thử Tốt Nghiệp Online Môn Toán 2026 Có Lời Giải-Đề 10 chính là cách nhanh nhất để nâng cao điểm số của bạn trong tương lai.
Kỹ Năng Kiểm Soát Thời Gian Và Tâm Lý Phòng Thi
Nhiều học sinh dù có nền tảng kiến thức vững vàng nhưng vẫn đạt điểm thấp trong bài thi Đề Thi Thử Tốt Nghiệp Online Môn Toán 2026 Có Lời Giải-Đề 10 do thiếu kỹ năng làm bài trắc nghiệm. Dưới đây là một số chiến thuật thực chiến bạn cần áp dụng:
- Quy tắc "Dễ làm trước, Khó để sau": Đừng tốn quá 2 phút cho một câu hỏi khó. Hãy lướt một vòng và giải quyết triệt để 60% số câu hỏi nhận biết và thông hiểu đầu tiên để nắm chắc điểm trung bình, tạo đà tâm lý thoải mái.
- Kỹ thuật loại trừ phương án nhiễu: Trong 4 phương án, thường sẽ có 2 phương án sai hoàn toàn có thể dễ dàng nhận ra. Việc loại trừ bớt lựa chọn sẽ nâng tỷ lệ đánh lụi đúng lên 50%.
- Phân bổ thời gian: Luôn dành ra ít nhất 3-5 phút cuối giờ để dò lại toàn bộ bài thi Đề Thi Thử Tốt Nghiệp Online Môn Toán 2026 Có Lời Giải-Đề 10, đảm bảo không bỏ sót bất kỳ câu hỏi nào chưa đánh dấu đáp án.
- Giữ vững tâm lý: Việc làm thử bài Đề Thi Thử Tốt Nghiệp Online Môn Toán 2026 Có Lời Giải-Đề 10 nhiều lần với đồng hồ đếm ngược sẽ giúp bạn làm quen với áp lực thời gian, không bị hoảng loạn khi thời gian sắp hết, từ đó duy trì được sự tập trung cao độ nhất.
Lưu Lại Kết Quả Và Đóng Góp Xây Dựng Đề Thi
Một tính năng vô cùng hữu ích trên hệ thống của chúng tôi là Lịch sử làm bài. Mọi kết quả, điểm số của bạn sau khi hoàn thành đề thi Đề Thi Thử Tốt Nghiệp Online Môn Toán 2026 Có Lời Giải-Đề 10 đều được tự động lưu lại trong hồ sơ cá nhân. Bạn có thể xem lại những bài mình đã làm cách đây nhiều tuần để đánh giá sự tiến bộ, hoặc làm lại (retry) chính bài thi đó để xem mình có mắc lại những lỗi sai cũ hay không. Ngoài ra, việc tổ chức các kỳ thi trắc nghiệm trực tuyến đòi hỏi nguồn cơ sở dữ liệu khổng lồ. Mặc dù đề thi Đề Thi Thử Tốt Nghiệp Online Môn Toán 2026 Có Lời Giải-Đề 10 đã được rà soát kỹ lưỡng, nhưng không thể tránh khỏi những sai sót nhỏ giọt về lỗi chính tả (typos) hoặc hiển thị công thức lỗi. Nếu bạn phát hiện ra bất kỳ điều bất thường nào, hãy giúp chúng tôi báo cáo lỗi thông qua nút Báo Cáo Câu Hỏi (Report). Đội ngũ học thuật sẽ tiếp nhận và chỉnh sửa kịp thời, đảm bảo mang đến một môi trường luyện thi hoàn hảo và minh bạch nhất cho cộng đồng học sinh toàn quốc.