Đề Thi Thử Tốt Nghiệp Online Môn Toán 2026 Sở GD Tuyên Quang Lần 2
Chủ đề:Trắc Nghiệm ToánTrắc Nghiệm Toán Luyện Thi Quốc Gia
Xem thêm thông tin về:Đề Thi Thử Tốt Nghiệp Online Môn Toán 2026 Sở GD Tuyên Quang Lần 2
Thực Hành Làm Bài Thi Trắc Nghiệm: Đề Thi Thử Tốt Nghiệp Online Môn Toán 2026 Sở GD Tuyên Quang Lần 2
Chào mừng bạn đến với khu vực làm bài thi trực tuyến của đề kiểm tra Đề Thi Thử Tốt Nghiệp Online Môn Toán 2026 Sở GD Tuyên Quang Lần 2. Đây là một bộ đề được biên soạn công phu, chọn lọc từ các nguồn tài liệu uy tín, nhằm giúp bạn kiểm tra và củng cố toàn diện lượng kiến thức đã học. Bài trắc nghiệm Đề Thi Thử Tốt Nghiệp Online Môn Toán 2026 Sở GD Tuyên Quang Lần 2 được thiết kế mô phỏng chính xác áp lực của một kỳ thi thực tế, tích hợp đồng hồ đếm ngược và hệ thống phân chia câu hỏi ngẫu nhiên (chống gian lận). Để đảm bảo đánh giá đúng năng lực thực chất, bạn hãy chuẩn bị sẵn giấy nháp, máy tính cầm tay (nếu cần), tạo cho mình một không gian yên tĩnh và tập trung cao độ. Khi bạn đã sẵn sàng đối mặt với thử thách, hãy nhấn nút "Bắt đầu làm bài" để trải nghiệm tính năng chấm điểm và phân tích kết quả siêu tốc ngay trên trình duyệt của mình.
Đề Kiểm Tra: Đề Thi Thử Tốt Nghiệp Online Môn Toán 2026 Sở GD Tuyên Quang Lần 2
Câu 1:
Nghiệm của phương trình \({3^{x + 1}} = 9\) là
\(x = 1\).
Ta có \(9 = {3^2}\) nên \({3^{x + 1}} = 9 \Leftrightarrow {3^{x + 1}} = {3^2}\).
Suy ra \(x + 1 = 2 \Leftrightarrow x = 1\).
Đáp án: C.
Suy ra \(x + 1 = 2 \Leftrightarrow x = 1\).
Đáp án: C.
Câu 2:
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), hình chiếu vuông góc của điểm \(M(2;1; – 1)\) trên trục \(Oz\) có tọa độ là
\((0;0; - 1)\).
Hình chiếu vuông góc của điểm \(M(2;1; – 1)\) trên trục \(Oz\) thì hoành độ và tung độ bằng \(0\), cao độ giữ nguyên.
Vậy hình chiếu là \((0;0; – 1)\).
Đáp án: D.
Vậy hình chiếu là \((0;0; – 1)\).
Đáp án: D.
Câu 3:
Thống kê độ tuổi tập thể dục thể thao hằng ngày trong một cụm dân cư có bảng số liệu sau: Độ tuổi
[10;20)
[20;30)
[30;40)
[40;50)
[50;60) Số người
10
6
15
19
25 Phương sai của mẫu số liệu trên bảng bao nhiêu (không làm tròn kết quả các phép tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng phần trăm)?
[10;20)
[20;30)
[30;40)
[40;50)
[50;60) Số người
10
6
15
19
25 Phương sai của mẫu số liệu trên bảng bao nhiêu (không làm tròn kết quả các phép tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng phần trăm)?
\(187,13\).
Lấy giá trị đại diện của các lớp tuổi là trung điểm:
Câu 4:
Cho hàm số \(y = f(x)\) có bảng biến thiên như sau:
Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng
Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng
\( - 1\).
Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = – 2\)
Giá trị cực tiểu là \(f( – 2) = – 1\).
Đáp án: D.
Giá trị cực tiểu là \(f( – 2) = – 1\).
Đáp án: D.
Câu 5:
Cho hàm số \(y = f(x)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\). Gọi \(S\) là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f(x)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = – 2\), \(x = 3\) (xem hình dưới). Phát biểu nào sau đây là đúng?
\(S = - \int_{ - 2}^0 f (x)dx + \int_0^3 f (x)dx\).
Dựa vào hình vẽ:
+ Trên đoạn \([ – 2;0]\), đồ thị nằm dưới trục hoành nên \(f(x) < 0\).
+ Trên đoạn \([0;3]\), đồ thị nằm trên trục hoành nên \(f(x) > 0\).
Diện tích hình phẳng là tổng các phần diện tích dương:
\(S = – \int_{ – 2}^0 f (x)dx + \int_0^3 f (x)dx\).
Đáp án: B.
+ Trên đoạn \([ – 2;0]\), đồ thị nằm dưới trục hoành nên \(f(x) < 0\).
+ Trên đoạn \([0;3]\), đồ thị nằm trên trục hoành nên \(f(x) > 0\).
Diện tích hình phẳng là tổng các phần diện tích dương:
\(S = – \int_{ – 2}^0 f (x)dx + \int_0^3 f (x)dx\).
Đáp án: B.
Câu 6:
Cho cấp số nhân \(({u_n})\) có \({u_2} = 2\) và \({u_3} = 6\). Công bội của cấp số nhân đã cho bằng
\(3\).
Cấp số nhân có công bội \(q\) thỏa mãn \({u_3} = {u_2}.q\).
Suy ra \(6 = 2q \Rightarrow q = 3\).
Đáp án: D.
Suy ra \(6 = 2q \Rightarrow q = 3\).
Đáp án: D.
Câu 7:
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho hai điểm \(A(1;1;2)\) và \(B(2;0;1)\). Mặt phẳng đi qua điểm \(A\) và vuông góc với đường thẳng \(AB\) có phương trình là
\(x - y - z + 2 = 0\).
Ta có \(A(1;1;2)\), \(B(2;0;1)\).
Vectơ \(\overrightarrow {AB} = (2 – 1;0 – 1;1 – 2) = (1; – 1; – 1)\).
Mặt phẳng cần tìm vuông góc với đường thẳng \(AB\) nên nhận \(\overrightarrow {AB} = (1; – 1; – 1)\) làm vectơ pháp tuyến.
Phương trình mặt phẳng đi qua \(A(1;1;2)\) là:
\((x – 1) – (y – 1) – (z – 2) = 0\).
Rút gọn:
\(x – y – z + 2 = 0\).
Đáp án: C.
Vectơ \(\overrightarrow {AB} = (2 – 1;0 – 1;1 – 2) = (1; – 1; – 1)\).
Mặt phẳng cần tìm vuông góc với đường thẳng \(AB\) nên nhận \(\overrightarrow {AB} = (1; – 1; – 1)\) làm vectơ pháp tuyến.
Phương trình mặt phẳng đi qua \(A(1;1;2)\) là:
\((x – 1) – (y – 1) – (z – 2) = 0\).
Rút gọn:
\(x – y – z + 2 = 0\).
Đáp án: C.
Câu 8:
Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA\) vuông góc với mặt phẳng \((ABC)\), tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\) và \(AB = a\), \(SA = 2a\), \(AH\) là đường cao của tam giác \(SAB\) (xem hình dưới).
Khoảng cách từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \((SBC)\) bằng
Khoảng cách từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \((SBC)\) bằng
\(\frac{{2\sqrt 5 a}}{5}\).
Vì \(SA \bot (ABC)\) nên \(SA \bot BC\).
Tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\) nên \(AB \bot BC\).
Do đó \(BC\) vuông góc với cả \(SA\) và \(AB\), suy ra \(BC \bot (SAB)\).
Trong tam giác vuông \(SAB\), ta có \(SA = 2a\), \(AB = a\).
Khi đó \(SB = \sqrt {S{A^2} + A{B^2}} = \sqrt {{{(2a)}^2} + {a^2}} = a\sqrt 5 \).
Gọi \(AH\) là đường cao từ \(A\) đến \(SB\) trong tam giác \(SAB\), ta có:
\(AH = \frac{{SA.AB}}{{SB}} = \frac{{2a.a}}{{a\sqrt 5 }} = \frac{{2a}}{{\sqrt 5 }} = \frac{{2\sqrt 5 a}}{5}\).
Vì \(AH \bot SB\) và \(AH \bot BC\), nên \(AH \bot (SBC)\).
Vậy khoảng cách từ \(A\) đến mặt phẳng \((SBC)\) là \(AH = \frac{{2\sqrt 5 a}}{5}\).
Đáp án: C.
Tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\) nên \(AB \bot BC\).
Do đó \(BC\) vuông góc với cả \(SA\) và \(AB\), suy ra \(BC \bot (SAB)\).
Trong tam giác vuông \(SAB\), ta có \(SA = 2a\), \(AB = a\).
Khi đó \(SB = \sqrt {S{A^2} + A{B^2}} = \sqrt {{{(2a)}^2} + {a^2}} = a\sqrt 5 \).
Gọi \(AH\) là đường cao từ \(A\) đến \(SB\) trong tam giác \(SAB\), ta có:
\(AH = \frac{{SA.AB}}{{SB}} = \frac{{2a.a}}{{a\sqrt 5 }} = \frac{{2a}}{{\sqrt 5 }} = \frac{{2\sqrt 5 a}}{5}\).
Vì \(AH \bot SB\) và \(AH \bot BC\), nên \(AH \bot (SBC)\).
Vậy khoảng cách từ \(A\) đến mặt phẳng \((SBC)\) là \(AH = \frac{{2\sqrt 5 a}}{5}\).
Đáp án: C.
Câu 9:
Cho hình hộp \(ABCD.A’B’C’D’\) (xem hình dưới). Phát biểu nào sau đây là đúng?
\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC'} \).
Trong hình hộp \(ABCD.A’B’C’D’\), ta có:
\(\overrightarrow {AC’} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA’} \).
Do phép cộng vectơ có tính giao hoán, nên:
\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AA’} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC’} \).
Đáp án: B.
\(\overrightarrow {AC’} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA’} \).
Do phép cộng vectơ có tính giao hoán, nên:
\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AA’} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC’} \).
Đáp án: B.
Câu 10:
Cho hàm số \(y = \cos x\). Phát biểu nào sau đây là sai?
Hàm số đã cho là hàm số lẻ.
Với hàm số \(y = \cos x\):
Hàm số tuần hoàn với chu kỳ \(2\pi \): đúng.
Tập giá trị là \([ – 1;1]\): đúng.
Tập xác định là \(\mathbb{R}\): đúng.
\(\cos x\) là hàm chẵn, vì \(\cos ( – x) = \cos x\), không phải hàm lẻ.
Vậy phát biểu sai là: “Hàm số đã cho là hàm số lẻ”.
Đáp án: D.
Hàm số tuần hoàn với chu kỳ \(2\pi \): đúng.
Tập giá trị là \([ – 1;1]\): đúng.
Tập xác định là \(\mathbb{R}\): đúng.
\(\cos x\) là hàm chẵn, vì \(\cos ( – x) = \cos x\), không phải hàm lẻ.
Vậy phát biểu sai là: “Hàm số đã cho là hàm số lẻ”.
Đáp án: D.
Câu 11:
Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA\) vuông góc với mặt phẳng \((ABC)\), tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\) và \(SA = AB = 2a\), \(BC = 3a\). Thể tích của khối chóp \(S.ABC\) bằng
\(2{a^3}\).
Vì \(SA \bot (ABC)\) nên chiều cao của khối chóp là \(SA = 2a\).
Tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\), có \(AB = 2a\), \(BC = 3a\) nên diện tích đáy là:
\({S_{ABC}} = \frac{1}{2}.AB.BC = \frac{1}{2}.2a.3a = 3{a^2}\).
Thể tích khối chóp:
\(V = \frac{1}{3}.{S_{ABC}}.SA = \frac{1}{3}.3{a^2}.2a = 2{a^3}\).
Đáp án: B.
Tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\), có \(AB = 2a\), \(BC = 3a\) nên diện tích đáy là:
\({S_{ABC}} = \frac{1}{2}.AB.BC = \frac{1}{2}.2a.3a = 3{a^2}\).
Thể tích khối chóp:
\(V = \frac{1}{3}.{S_{ABC}}.SA = \frac{1}{3}.3{a^2}.2a = 2{a^3}\).
Đáp án: B.
Câu 12:
Cho \(\int_1^2 f (x)dx = – 3\) và \(\int_1^2 g (x)dx = 4\). Giá trị của tích phân \(\int\limits_1^2 {\left( {2f(x) + g(x)} \right)dx} \) bằng
\( - 2\).
Dùng tính chất của tích phân:
\(\int_1^2 {\left[ {2f(x) + g(x)} \right]} dx = 2\int_1^2 {f(x)} dx + \int_1^2 {g(x)} dx\)\( = 2.( – 3) + 4 = – 6 + 4 = – 2\).
Đáp án: D.
\(\int_1^2 {\left[ {2f(x) + g(x)} \right]} dx = 2\int_1^2 {f(x)} dx + \int_1^2 {g(x)} dx\)\( = 2.( – 3) + 4 = – 6 + 4 = – 2\).
Đáp án: D.
Câu 13:
Trường THPT X có 800 học sinh, trong đó có 360 học sinh tham gia câu lạc bộ thể thao của trường. Biết rằng, trong số các học sinh của trường tham gia câu lạc bộ thể thao có 188 học sinh biết bơi, trong số các học sinh của trường không tham gia câu lạc bộ thể thao có 132 học sinh biết bơi. Chọn ngẫu nhiên một học sinh của trường THPT X.
Xác suất để học sinh được chọn biết bơi, biết rằng học sinh đó không tham gia câu lạc bộ thể thao, bằng \(0,2\).
Gọi \(A\) là biến cố “học sinh tham gia câu lạc bộ thể thao”, \(B\) là biến cố “học sinh biết bơi”.
Ta có:
Tổng số học sinh: \(800\).
Số học sinh tham gia câu lạc bộ thể thao: \(360\).
Số học sinh không tham gia câu lạc bộ thể thao: \(800 – 360 = 440\).
Trong nhóm tham gia câu lạc bộ thể thao có \(188\) học sinh biết bơi.
Trong nhóm không tham gia câu lạc bộ thể thao có \(132\) học sinh biết bơi.
Vậy tổng số học sinh biết bơi là \(188 + 132 = 320\).
a) Xác suất để học sinh biết bơi, biết rằng học sinh đó không tham gia câu lạc bộ thể thao là:
\(P(B|\bar A) = \frac{{132}}{{440}} = 0,3\).
Đề cho bằng \(0,2\) nên sai.
b) Xác suất để học sinh thuộc câu lạc bộ thể thao, biết rằng học sinh đó biết bơi là:
\(P(A|B) = \frac{{188}}{{320}} = 0,5875\).
Làm tròn đến hàng phần trăm được \(0,59\), không phải \(0,58\).
Vậy mệnh đề sai.
c) Xác suất để học sinh được chọn biết bơi là:
\(P(B) = \frac{{320}}{{800}} = 0,4\).
Đề cho bằng \(0,45\) nên sai.
d) Xác suất để học sinh được chọn có tham gia câu lạc bộ thể thao là:
\(P(A) = \frac{{360}}{{800}} = 0,45\).
Vậy mệnh đề đúng.
Kết luận Câu 1: a) Sai; b) Sai; c) Sai; d) Đúng.
Ta có:
Tổng số học sinh: \(800\).
Số học sinh tham gia câu lạc bộ thể thao: \(360\).
Số học sinh không tham gia câu lạc bộ thể thao: \(800 – 360 = 440\).
Trong nhóm tham gia câu lạc bộ thể thao có \(188\) học sinh biết bơi.
Trong nhóm không tham gia câu lạc bộ thể thao có \(132\) học sinh biết bơi.
Vậy tổng số học sinh biết bơi là \(188 + 132 = 320\).
a) Xác suất để học sinh biết bơi, biết rằng học sinh đó không tham gia câu lạc bộ thể thao là:
\(P(B|\bar A) = \frac{{132}}{{440}} = 0,3\).
Đề cho bằng \(0,2\) nên sai.
b) Xác suất để học sinh thuộc câu lạc bộ thể thao, biết rằng học sinh đó biết bơi là:
\(P(A|B) = \frac{{188}}{{320}} = 0,5875\).
Làm tròn đến hàng phần trăm được \(0,59\), không phải \(0,58\).
Vậy mệnh đề sai.
c) Xác suất để học sinh được chọn biết bơi là:
\(P(B) = \frac{{320}}{{800}} = 0,4\).
Đề cho bằng \(0,45\) nên sai.
d) Xác suất để học sinh được chọn có tham gia câu lạc bộ thể thao là:
\(P(A) = \frac{{360}}{{800}} = 0,45\).
Vậy mệnh đề đúng.
Kết luận Câu 1: a) Sai; b) Sai; c) Sai; d) Đúng.
Câu 14:
Cho hàm số \(y = \frac{{{x^2} – x – 1}}{{x – 2}}\).
Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng \((1;3)\).
Cho hàm số \(y = \frac{{{x^2} – x – 1}}{{x – 2}}\).
Ta chia đa thức:
\(\frac{{{x^2} – x – 1}}{{x – 2}} = x + 1 + \frac{1}{{x – 2}}\).
Do đó \(y = x + 1 + \frac{1}{{x – 2}}\).
Tập xác định là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}\).
Đạo hàm:
\(y’ = 1 – \frac{1}{{{{(x – 2)}^2}}} = \frac{{{{(x – 2)}^2} – 1}}{{{{(x – 2)}^2}}} = \frac{{(x – 3)(x – 1)}}{{{{(x – 2)}^2}}}\).
a) Xét khoảng \((1;3)\), hàm số không xác định tại \(x = 2\) nên không thể nói hàm số nghịch biến trên toàn khoảng \((1;3)\).
Ngoài ra, lấy ví dụ \({x_1} = 1,5\), \({x_2} = 2,5\), ta có \({x_1} < {x_2}\) nhưng \(f(1,5) = 0,5\) và \(f(2,5) = 5,5\), nên không thỏa mãn tính nghịch biến.
Vậy mệnh đề sai.
b) Vì \(y = x + 1 + \frac{1}{{x – 2}}\) nên khi \(x \to \pm \infty \), ta có \(\frac{1}{{x – 2}} \to 0\).
Do đó tiệm cận xiên là \(y = x + 1\).
Suy ra \(a = 1\), \(b = 1\), nên \(a + b = 2\).
Vậy mệnh đề đúng.
c) Ta có \(y’ = 0 \Leftrightarrow (x – 3)(x – 1) = 0 \Leftrightarrow x = 1\) hoặc \(x = 3\).
Tọa độ hai điểm cực trị:
\(f(1) = \frac{{1 – 1 – 1}}{{1 – 2}} = 1\), nên một điểm cực trị là \((1;1)\).
\(f(3) = \frac{{9 – 3 – 1}}{{3 – 2}} = 5\), nên điểm cực trị còn lại là \((3;5)\).
Diện tích tam giác tạo bởi \(O(0;0)\), \(A(1;1)\), \(B(3;5)\) là:
\({S_{OAB}} = \frac{1}{2}|1.5 – 3.1| = \frac{1}{2}.2 = 1\).
Đề cho diện tích bằng \(2\) nên mệnh đề sai.
d) Mẫu số \(x – 2 \ne 0\) nên \(x \ne 2\).
Vậy tập xác định là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}\).
Mệnh đề đúng.
Kết luận Câu 2: a) Sai; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.
Ta chia đa thức:
\(\frac{{{x^2} – x – 1}}{{x – 2}} = x + 1 + \frac{1}{{x – 2}}\).
Do đó \(y = x + 1 + \frac{1}{{x – 2}}\).
Tập xác định là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}\).
Đạo hàm:
\(y’ = 1 – \frac{1}{{{{(x – 2)}^2}}} = \frac{{{{(x – 2)}^2} – 1}}{{{{(x – 2)}^2}}} = \frac{{(x – 3)(x – 1)}}{{{{(x – 2)}^2}}}\).
a) Xét khoảng \((1;3)\), hàm số không xác định tại \(x = 2\) nên không thể nói hàm số nghịch biến trên toàn khoảng \((1;3)\).
Ngoài ra, lấy ví dụ \({x_1} = 1,5\), \({x_2} = 2,5\), ta có \({x_1} < {x_2}\) nhưng \(f(1,5) = 0,5\) và \(f(2,5) = 5,5\), nên không thỏa mãn tính nghịch biến.
Vậy mệnh đề sai.
b) Vì \(y = x + 1 + \frac{1}{{x – 2}}\) nên khi \(x \to \pm \infty \), ta có \(\frac{1}{{x – 2}} \to 0\).
Do đó tiệm cận xiên là \(y = x + 1\).
Suy ra \(a = 1\), \(b = 1\), nên \(a + b = 2\).
Vậy mệnh đề đúng.
c) Ta có \(y’ = 0 \Leftrightarrow (x – 3)(x – 1) = 0 \Leftrightarrow x = 1\) hoặc \(x = 3\).
Tọa độ hai điểm cực trị:
\(f(1) = \frac{{1 – 1 – 1}}{{1 – 2}} = 1\), nên một điểm cực trị là \((1;1)\).
\(f(3) = \frac{{9 – 3 – 1}}{{3 – 2}} = 5\), nên điểm cực trị còn lại là \((3;5)\).
Diện tích tam giác tạo bởi \(O(0;0)\), \(A(1;1)\), \(B(3;5)\) là:
\({S_{OAB}} = \frac{1}{2}|1.5 – 3.1| = \frac{1}{2}.2 = 1\).
Đề cho diện tích bằng \(2\) nên mệnh đề sai.
d) Mẫu số \(x – 2 \ne 0\) nên \(x \ne 2\).
Vậy tập xác định là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}\).
Mệnh đề đúng.
Kết luận Câu 2: a) Sai; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.
Câu 15:
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho điểm \(A( – 2;6;0)\), mặt phẳng \((P):2x + y + 4 = 0\) và đường thẳng \(d:\frac{{x – 1}}{2} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z – 2}}{{ – 1}}\).
Côsin của góc tạo bởi đường thẳng \(d\) và mặt phẳng \((P)\) bằng \(\frac{{\sqrt {30} }}{6}\).
Cho điểm \(A( – 2;6;0)\), mặt phẳng \((P):2x + y + 4 = 0\) và đường thẳng \(d:\frac{{x – 1}}{2} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z – 2}}{{ – 1}}\).
Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(M(1; – 1;2)\) và có một vectơ chỉ phương là \(\vec u = (2;1; – 1)\).
Mặt phẳng \((P)\) có vectơ pháp tuyến là \(\vec n = (2;1;0)\).
a) Góc giữa đường thẳng \(d\) và mặt phẳng \((P)\) gọi là \(\alpha \).
Ta có công thức:
\(\sin \alpha = \frac{{|\vec u.\vec n|}}{{|\vec u|.|\vec n|}}\).
Tính:
\(\vec u.\vec n = 2.2 + 1.1 + ( – 1).0 = 5\).
\(|\vec u| = \sqrt {{2^2} + {1^2} + {{( – 1)}^2}} = \sqrt 6 \).
\(|\vec n| = \sqrt {{2^2} + {1^2} + {0^2}} = \sqrt 5 \).
Do đó:
\(\sin \alpha = \frac{5}{{\sqrt 6 .\sqrt 5 }} = \frac{5}{{\sqrt {30} }} = \frac{{\sqrt {30} }}{6}\).
Vì đề hỏi côsin của góc, không phải sin của góc, nên mệnh đề “côsin bằng \(\frac{{\sqrt {30} }}{6}\)” là sai.
b) Từ phương trình đường thẳng \(d\), ta có một vectơ chỉ phương là \(\vec u = (2;1; – 1)\).
Mệnh đề đúng.
c) Hình chiếu vuông góc của đường thẳng \(d\) trên mặt phẳng \((P)\) có vectơ chỉ phương là hình chiếu của \(\vec u\) lên mặt phẳng \((P)\).
Ta có \(\vec u = (2;1; – 1)\), \(\vec n = (2;1;0)\) và \(\vec u.\vec n = 5\), \(|\vec n{|^2} = 5\).
Hình chiếu của \(\vec u\) lên mặt phẳng \((P)\) là:
\(\vec v = \vec u – \frac{{\vec u.\vec n}}{{|\vec n{|^2}}}\vec n = (2;1; – 1) – 1.(2;1;0) = (0;0; – 1)\).
Vậy đường thẳng hình chiếu có phương song song với trục \(Oz\).
Lấy điểm \(M(1; – 1;2)\) thuộc \(d\). Hình chiếu vuông góc của \(M\) lên \((P)\) là \(M’\).
Ta có:
\(M’ = M – \frac{{2.1 + ( – 1) + 4}}{{{2^2} + {1^2}}}.(2;1;0)\).
\(2.1 + ( – 1) + 4 = 5\) và \({2^2} + {1^2} = 5\).
Suy ra:
\(M’ = (1; – 1;2) – (2;1;0) = ( – 1; – 2;2)\).
Vậy hình chiếu của \(d\) trên \((P)\) là đường thẳng đi qua \(( – 1; – 2;2)\) và có vectơ chỉ phương \((0;0;1)\).
Phương trình là \(\left\{ \begin{gathered} x = – 1 \hfill \\ y = – 2 \hfill \\ z = 2 + t \hfill \\ \end{gathered} \right.\)
Mệnh đề đúng.
d) Khoảng cách từ \(A( – 2;6;0)\) đến mặt phẳng \((P):2x + y + 4 = 0\) là:
\(d(A,(P)) = \frac{{|2.( – 2) + 6 + 4|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2}} }} = \frac{6}{{\sqrt 5 }} = \frac{{6\sqrt 5 }}{5}\).
Mệnh đề đúng.
Kết luận Câu 3: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Đúng.
Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(M(1; – 1;2)\) và có một vectơ chỉ phương là \(\vec u = (2;1; – 1)\).
Mặt phẳng \((P)\) có vectơ pháp tuyến là \(\vec n = (2;1;0)\).
a) Góc giữa đường thẳng \(d\) và mặt phẳng \((P)\) gọi là \(\alpha \).
Ta có công thức:
\(\sin \alpha = \frac{{|\vec u.\vec n|}}{{|\vec u|.|\vec n|}}\).
Tính:
\(\vec u.\vec n = 2.2 + 1.1 + ( – 1).0 = 5\).
\(|\vec u| = \sqrt {{2^2} + {1^2} + {{( – 1)}^2}} = \sqrt 6 \).
\(|\vec n| = \sqrt {{2^2} + {1^2} + {0^2}} = \sqrt 5 \).
Do đó:
\(\sin \alpha = \frac{5}{{\sqrt 6 .\sqrt 5 }} = \frac{5}{{\sqrt {30} }} = \frac{{\sqrt {30} }}{6}\).
Vì đề hỏi côsin của góc, không phải sin của góc, nên mệnh đề “côsin bằng \(\frac{{\sqrt {30} }}{6}\)” là sai.
b) Từ phương trình đường thẳng \(d\), ta có một vectơ chỉ phương là \(\vec u = (2;1; – 1)\).
Mệnh đề đúng.
c) Hình chiếu vuông góc của đường thẳng \(d\) trên mặt phẳng \((P)\) có vectơ chỉ phương là hình chiếu của \(\vec u\) lên mặt phẳng \((P)\).
Ta có \(\vec u = (2;1; – 1)\), \(\vec n = (2;1;0)\) và \(\vec u.\vec n = 5\), \(|\vec n{|^2} = 5\).
Hình chiếu của \(\vec u\) lên mặt phẳng \((P)\) là:
\(\vec v = \vec u – \frac{{\vec u.\vec n}}{{|\vec n{|^2}}}\vec n = (2;1; – 1) – 1.(2;1;0) = (0;0; – 1)\).
Vậy đường thẳng hình chiếu có phương song song với trục \(Oz\).
Lấy điểm \(M(1; – 1;2)\) thuộc \(d\). Hình chiếu vuông góc của \(M\) lên \((P)\) là \(M’\).
Ta có:
\(M’ = M – \frac{{2.1 + ( – 1) + 4}}{{{2^2} + {1^2}}}.(2;1;0)\).
\(2.1 + ( – 1) + 4 = 5\) và \({2^2} + {1^2} = 5\).
Suy ra:
\(M’ = (1; – 1;2) – (2;1;0) = ( – 1; – 2;2)\).
Vậy hình chiếu của \(d\) trên \((P)\) là đường thẳng đi qua \(( – 1; – 2;2)\) và có vectơ chỉ phương \((0;0;1)\).
Phương trình là \(\left\{ \begin{gathered} x = – 1 \hfill \\ y = – 2 \hfill \\ z = 2 + t \hfill \\ \end{gathered} \right.\)
Mệnh đề đúng.
d) Khoảng cách từ \(A( – 2;6;0)\) đến mặt phẳng \((P):2x + y + 4 = 0\) là:
\(d(A,(P)) = \frac{{|2.( – 2) + 6 + 4|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2}} }} = \frac{6}{{\sqrt 5 }} = \frac{{6\sqrt 5 }}{5}\).
Mệnh đề đúng.
Kết luận Câu 3: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Đúng.
Câu 16:
Cho hàm số \(y = f(x)\) là hàm đa thức bậc bốn có đồ thị của hàm số \(y = f'(x)\) như hình dưới đây.
Biết \(f( – 1) = \frac{{17}}{{12}}\), diện tích hình phẳng \((A)\), \((B)\) lần lượt bằng \(\frac{8}{3}\) và \(\frac{5}{{12}}\).
Biết \(f( – 1) = \frac{{17}}{{12}}\), diện tích hình phẳng \((A)\), \((B)\) lần lượt bằng \(\frac{8}{3}\) và \(\frac{5}{{12}}\).
Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = f(x)\) trên đoạn \([ - 1;2]\) đạt tại \(x = 1\).
Ta có đồ thị của \(y = f'(x)\).
Theo hình vẽ:
Trên đoạn \([ – 1;1]\), đồ thị \(f'(x)\) nằm phía trên trục hoành, diện tích hình phẳng \((A)\) bằng \(\frac{8}{3}\), nên \(\int_{ – 1}^1 {f’} (x)dx = \frac{8}{3}\).
Trên đoạn \([1;2]\), đồ thị \(f'(x)\) nằm phía dưới trục hoành, diện tích hình phẳng \((B)\) bằng \(\frac{5}{{12}}\), nên \(\int_1^2 {f’} (x)dx = – \frac{5}{{12}}\).
Biết \(f( – 1) = \frac{{17}}{{12}}\).
Tính \(f(1)\):
\(f(1) = f( – 1) + \int_{ – 1}^1 {f’} (x)dx = \frac{{17}}{{12}} + \frac{8}{3} = \frac{{17}}{{12}} + \frac{{32}}{{12}} = \frac{{49}}{{12}}\).
Tính \(f(2)\):
\(f(2) = f(1) + \int_1^2 {f’} (x)dx = \frac{{49}}{{12}} – \frac{5}{{12}} = \frac{{44}}{{12}} = \frac{{11}}{3}\).
a) Trên đoạn \([ – 1;1]\), ta có \(f'(x) > 0\) nên \(f(x)\) tăng.
Trên đoạn \([1;2]\), ta có \(f'(x) < 0\) nên \(f(x)\) giảm.
Do đó \(x = 1\) là điểm đạt giá trị lớn nhất cục bộ trên đoạn \([ – 1;2]\), không phải giá trị nhỏ nhất.
So sánh các giá trị:
\(f( – 1) = \frac{{17}}{{12}}\), \(f(1) = \frac{{49}}{{12}}\), \(f(2) = \frac{{11}}{3} = \frac{{44}}{{12}}\).
Giá trị nhỏ nhất là \(f( – 1) = \frac{{17}}{{12}}\), đạt tại \(x = – 1\).
Mệnh đề sai.
b) Ta có \(f( – 1) = \frac{{17}}{{12}}\) và \(f(2) = \frac{{11}}{3} = \frac{{44}}{{12}}\).
Vì \(\frac{{17}}{{12}} < \frac{{44}}{{12}}\) nên \(f( – 1) < f(2)\).
Mệnh đề đúng.
c) Ta tính được \(f(1) = \frac{{49}}{{12}}\), không phải \(\frac{5}{4}\).
Mệnh đề sai.
d) Ta có:
\(\int_{ – 1}^2 {f’} (x)dx = \int_{ – 1}^1 {f’} (x)dx + \int_1^2 {f’} (x)dx = \frac{8}{3} – \frac{5}{{12}} = \frac{{32}}{{12}} – \frac{5}{{12}} = \frac{{27}}{{12}} = \frac{9}{4}\).
Mệnh đề đúng.
Kết luận Câu 4: a) Sai; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.
Theo hình vẽ:
Trên đoạn \([ – 1;1]\), đồ thị \(f'(x)\) nằm phía trên trục hoành, diện tích hình phẳng \((A)\) bằng \(\frac{8}{3}\), nên \(\int_{ – 1}^1 {f’} (x)dx = \frac{8}{3}\).
Trên đoạn \([1;2]\), đồ thị \(f'(x)\) nằm phía dưới trục hoành, diện tích hình phẳng \((B)\) bằng \(\frac{5}{{12}}\), nên \(\int_1^2 {f’} (x)dx = – \frac{5}{{12}}\).
Biết \(f( – 1) = \frac{{17}}{{12}}\).
Tính \(f(1)\):
\(f(1) = f( – 1) + \int_{ – 1}^1 {f’} (x)dx = \frac{{17}}{{12}} + \frac{8}{3} = \frac{{17}}{{12}} + \frac{{32}}{{12}} = \frac{{49}}{{12}}\).
Tính \(f(2)\):
\(f(2) = f(1) + \int_1^2 {f’} (x)dx = \frac{{49}}{{12}} – \frac{5}{{12}} = \frac{{44}}{{12}} = \frac{{11}}{3}\).
a) Trên đoạn \([ – 1;1]\), ta có \(f'(x) > 0\) nên \(f(x)\) tăng.
Trên đoạn \([1;2]\), ta có \(f'(x) < 0\) nên \(f(x)\) giảm.
Do đó \(x = 1\) là điểm đạt giá trị lớn nhất cục bộ trên đoạn \([ – 1;2]\), không phải giá trị nhỏ nhất.
So sánh các giá trị:
\(f( – 1) = \frac{{17}}{{12}}\), \(f(1) = \frac{{49}}{{12}}\), \(f(2) = \frac{{11}}{3} = \frac{{44}}{{12}}\).
Giá trị nhỏ nhất là \(f( – 1) = \frac{{17}}{{12}}\), đạt tại \(x = – 1\).
Mệnh đề sai.
b) Ta có \(f( – 1) = \frac{{17}}{{12}}\) và \(f(2) = \frac{{11}}{3} = \frac{{44}}{{12}}\).
Vì \(\frac{{17}}{{12}} < \frac{{44}}{{12}}\) nên \(f( – 1) < f(2)\).
Mệnh đề đúng.
c) Ta tính được \(f(1) = \frac{{49}}{{12}}\), không phải \(\frac{5}{4}\).
Mệnh đề sai.
d) Ta có:
\(\int_{ – 1}^2 {f’} (x)dx = \int_{ – 1}^1 {f’} (x)dx + \int_1^2 {f’} (x)dx = \frac{8}{3} – \frac{5}{{12}} = \frac{{32}}{{12}} – \frac{5}{{12}} = \frac{{27}}{{12}} = \frac{9}{4}\).
Mệnh đề đúng.
Kết luận Câu 4: a) Sai; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.
Câu 17:
Một công ty xây dựng đấu thầu ba dự án \(X,Y\) và \(Z\). Xác suất để ba dự án \(X,Y\) và \(Z\) trúng thầu tương ứng là \(a,b\) và \(0,8\)\((a > b)\). Biết rằng xác suất để ít nhất một trong ba dự án trúng thầu là \(0,964\) và xác suất để cả ba dự án đều trúng thầu là \(0,224\). Giả sử việc trúng thầu của dự án \(X,Y\) và \(Z\) là độc lập. Tính \(2a + b\).
Gọi xác suất ba dự án \(X,Y,Z\) trúng thầu lần lượt là \(a,b,0,8\).
Vì các biến cố độc lập nên xác suất cả ba dự án đều trúng thầu là:
\(ab.0,8 = 0,224 \Rightarrow ab = \frac{{0,224}}{{0,8}} = 0,28\).
Xác suất ít nhất một dự án trúng thầu là \(0,964\), nên xác suất không có dự án nào trúng thầu là:
\(1 – 0,964 = 0,036\).
Do đó: \((1 – a)(1 – b)(1 – 0,8) = 0,036\).
Suy ra:
\((1 – a)(1 – b).0,2 = 0,036 \Rightarrow (1 – a)(1 – b) = 0,18\).
Ta có: \((1 – a)(1 – b) = 1 – a – b + ab\).
Thay \(ab = 0,28\) vào:
\(1 – a – b + 0,28 = 0,18\).
Suy ra: \(a + b = 1,1\).
Vậy \(a,b\) là nghiệm của phương trình:
\({t^2} – 1,1t + 0,28 = 0\).
Giải ra được:
\(t = 0,7\) hoặc \(t = 0,4\).
Vì \(a > b\) nên \(a = 0,7\), \(b = 0,4\).
Do đó: \(2a + b = 2.0,7 + 0,4 = 1,8\).
Đáp án: \(1,8\).
Vì các biến cố độc lập nên xác suất cả ba dự án đều trúng thầu là:
\(ab.0,8 = 0,224 \Rightarrow ab = \frac{{0,224}}{{0,8}} = 0,28\).
Xác suất ít nhất một dự án trúng thầu là \(0,964\), nên xác suất không có dự án nào trúng thầu là:
\(1 – 0,964 = 0,036\).
Do đó: \((1 – a)(1 – b)(1 – 0,8) = 0,036\).
Suy ra:
\((1 – a)(1 – b).0,2 = 0,036 \Rightarrow (1 – a)(1 – b) = 0,18\).
Ta có: \((1 – a)(1 – b) = 1 – a – b + ab\).
Thay \(ab = 0,28\) vào:
\(1 – a – b + 0,28 = 0,18\).
Suy ra: \(a + b = 1,1\).
Vậy \(a,b\) là nghiệm của phương trình:
\({t^2} – 1,1t + 0,28 = 0\).
Giải ra được:
\(t = 0,7\) hoặc \(t = 0,4\).
Vì \(a > b\) nên \(a = 0,7\), \(b = 0,4\).
Do đó: \(2a + b = 2.0,7 + 0,4 = 1,8\).
Đáp án: \(1,8\).
Câu 18:
Nhà máy A chuyên sản xuất một loại sản phẩm cho nhà máy B. Hai nhà máy thỏa thuận rằng, hằng tháng nhà máy A cung cấp cho nhà máy B số lượng sản phẩm theo đơn đặt hàng của nhà máy B (tối đa 50 tấn sản phẩm). Nếu số lượng đặt hàng là \(x\) tấn sản phẩm thì giá bán cho mỗi tấn sản phẩm là \(p(x) = 63 – 0,02{x^2}\) (đơn vị triệu đồng). Chi phí để nhà máy A sản xuất \(x\) tấn sản phẩm trong một tháng là \(C(x) = 50 + 8,1x\) (đơn vị triệu đồng), thuế giá trị gia tăng mà nhà máy A phải đóng cho nhà nước là \(10\% \) tổng doanh thu mỗi tháng. Hỏi mỗi tháng nhà máy A thu được lợi nhuận cao nhất là bao nhiêu triệu đồng (sau khi đã trừ thuế giá trị gia tăng)?
Số lượng sản phẩm là \(x\) tấn, với \(0 \leqslant x \leqslant 50\).
Giá bán mỗi tấn là: \(p(x) = 63 – 0,02{x^2}\).
Doanh thu là: \(R(x) = x.p(x) = x(63 – 0,02{x^2}) = 63x – 0,02{x^3}\).
Thuế giá trị gia tăng bằng \(10\% \) doanh thu, nên phần doanh thu còn lại sau thuế là:
\(0,9R(x)\).
Chi phí sản xuất là: \(C(x) = 50 + 8,1x\).
Lợi nhuận sau thuế là: \(L(x) = 0,9R(x) – C(x)\).
Suy ra:
\(L(x) = 0,9(63x – 0,02{x^3}) – (50 + 8,1x)\).
\(L(x) = 56,7x – 0,018{x^3} – 50 – 8,1x\).
\(L(x) = 48,6x – 0,018{x^3} – 50\).
Xét đạo hàm: \(L'(x) = 48,6 – 0,054{x^2}\).
Cho \(L'(x) = 0\):
\(48,6 – 0,054{x^2} = 0 \Rightarrow {x^2} = \frac{{48,6}}{{0,054}} = 900\).
Vì \(x \geqslant 0\) nên \(x = 30\).
Ta có \(L”(x) = – 0,108x\), nên tại \(x = 30\), \(L”(30) < 0\). Do đó lợi nhuận đạt cực đại tại \(x = 30\).
Tính lợi nhuận lớn nhất:
\(L(30) = 48,6.30 – 0,{018.30^3} – 50\).
\(L(30) = 1458 – 486 – 50 = 922\).
Đáp án: \(922\) triệu đồng.
Giá bán mỗi tấn là: \(p(x) = 63 – 0,02{x^2}\).
Doanh thu là: \(R(x) = x.p(x) = x(63 – 0,02{x^2}) = 63x – 0,02{x^3}\).
Thuế giá trị gia tăng bằng \(10\% \) doanh thu, nên phần doanh thu còn lại sau thuế là:
\(0,9R(x)\).
Chi phí sản xuất là: \(C(x) = 50 + 8,1x\).
Lợi nhuận sau thuế là: \(L(x) = 0,9R(x) – C(x)\).
Suy ra:
\(L(x) = 0,9(63x – 0,02{x^3}) – (50 + 8,1x)\).
\(L(x) = 56,7x – 0,018{x^3} – 50 – 8,1x\).
\(L(x) = 48,6x – 0,018{x^3} – 50\).
Xét đạo hàm: \(L'(x) = 48,6 – 0,054{x^2}\).
Cho \(L'(x) = 0\):
\(48,6 – 0,054{x^2} = 0 \Rightarrow {x^2} = \frac{{48,6}}{{0,054}} = 900\).
Vì \(x \geqslant 0\) nên \(x = 30\).
Ta có \(L”(x) = – 0,108x\), nên tại \(x = 30\), \(L”(30) < 0\). Do đó lợi nhuận đạt cực đại tại \(x = 30\).
Tính lợi nhuận lớn nhất:
\(L(30) = 48,6.30 – 0,{018.30^3} – 50\).
\(L(30) = 1458 – 486 – 50 = 922\).
Đáp án: \(922\) triệu đồng.
Câu 19:
Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác đều, biết \(AB = 3\), \(I\) là trung điểm cạnh \(AB\), hình chiếu của điểm \(S\) lên mặt phẳng đáy là trung điểm \(H\) của đoạn \(CI\), góc giữa đường thẳng \(SA\) và mặt phẳng đáy bằng \({45^0}\). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \(SA\) và \(CI\) (không làm tròn kết quả các phép tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng phần chục).
Tam giác \(ABC\) đều cạnh \(3\). Gọi \(I\) là trung điểm \(AB\), \(H\) là trung điểm \(CI\).
Chọn hệ trục tọa độ sao cho đáy nằm trên mặt phẳng \(Oxy\):
\(I(0;0;0)\), \(A\left( { – \frac{3}{2};0;0} \right)\), \(B\left( {\frac{3}{2};0;0} \right)\), \(C\left( {0;\frac{{3\sqrt 3 }}{2};0} \right)\).
Vì \(H\) là trung điểm của \(CI\) nên: \(H\left( {0;\frac{{3\sqrt 3 }}{4};0} \right)\).
Hình chiếu của \(S\) xuống đáy là \(H\), nên: \(S\left( {0;\frac{{3\sqrt 3 }}{4};h} \right)\).
Góc giữa \(SA\) và mặt phẳng đáy bằng \({45^0 }\). Hình chiếu của \(SA\) lên mặt phẳng đáy là \(AH\), nên góc giữa \(SA\) và đáy là góc \(\widehat {SAH} = {45^0 }\).
Tam giác \(SAH\) vuông tại \(H\), nên: \(\tan { 45^0 } = \frac{{SH}}{{AH}} = 1 \Rightarrow SH = AH\).
Tính \(AH\):
\(AH = \sqrt {{{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{3\sqrt 3 }}{4}} \right)}^2}} \).
\(AH = \sqrt {\frac{9}{4} + \frac{{27}}{{16}}} = \sqrt {\frac{{63}}{{16}}} = \frac{{3\sqrt 7 }}{4}\).
Suy ra: \(h = SH = \frac{{3\sqrt 7 }}{4}\).
Vậy: \(S\left( {0;\frac{{3\sqrt 3 }}{4};\frac{{3\sqrt 7 }}{4}} \right)\).
Đường thẳng \(SA\) có vectơ chỉ phương:
\(\vec u = \overrightarrow {AS} = \left( {\frac{3}{2};\frac{{3\sqrt 3 }}{4};\frac{{3\sqrt 7 }}{4}} \right)\).
Đường thẳng \(CI\) có vectơ chỉ phương:
\(\vec v = (0;1;0)\).
Lấy điểm \(A\) trên \(SA\) và điểm \(I\) trên \(CI\), ta có:
\(\overrightarrow {AI} = \left( {\frac{3}{2};0;0} \right)\).
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau \(SA\) và \(CI\) là:
\(d = \frac{{|\overrightarrow {AI} .(\vec u \times \vec v)|}}{{|\vec u \times \vec v|}}\).
Ta có:
\(\vec u \times \vec v = \left( { – \frac{{3\sqrt 7 }}{4};0;\frac{3}{2}} \right)\).
Do đó:
\(|\vec u \times \vec v| = \sqrt {\frac{{63}}{{16}} + \frac{9}{4}} = \sqrt {\frac{{99}}{{16}}} = \frac{{3\sqrt {11} }}{4}\).
Và:
\(|\overrightarrow {AI} .(\vec u \times \vec v)| = \left| {\frac{3}{2}.\left( { – \frac{{3\sqrt 7 }}{4}} \right)} \right| = \frac{{9\sqrt 7 }}{8}\).
Suy ra:
\(d = \frac{{\frac{{9\sqrt 7 }}{8}}}{{\frac{{3\sqrt {11} }}{4}}} = \frac{{3\sqrt {77} }}{{22}} \approx 1,196\).
Làm tròn đến hàng phần mười được:
\(d \approx 1,2\).
Đáp án: \(1,2\).
Chọn hệ trục tọa độ sao cho đáy nằm trên mặt phẳng \(Oxy\):
\(I(0;0;0)\), \(A\left( { – \frac{3}{2};0;0} \right)\), \(B\left( {\frac{3}{2};0;0} \right)\), \(C\left( {0;\frac{{3\sqrt 3 }}{2};0} \right)\).
Vì \(H\) là trung điểm của \(CI\) nên: \(H\left( {0;\frac{{3\sqrt 3 }}{4};0} \right)\).
Hình chiếu của \(S\) xuống đáy là \(H\), nên: \(S\left( {0;\frac{{3\sqrt 3 }}{4};h} \right)\).
Góc giữa \(SA\) và mặt phẳng đáy bằng \({45^0 }\). Hình chiếu của \(SA\) lên mặt phẳng đáy là \(AH\), nên góc giữa \(SA\) và đáy là góc \(\widehat {SAH} = {45^0 }\).
Tam giác \(SAH\) vuông tại \(H\), nên: \(\tan { 45^0 } = \frac{{SH}}{{AH}} = 1 \Rightarrow SH = AH\).
Tính \(AH\):
\(AH = \sqrt {{{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{3\sqrt 3 }}{4}} \right)}^2}} \).
\(AH = \sqrt {\frac{9}{4} + \frac{{27}}{{16}}} = \sqrt {\frac{{63}}{{16}}} = \frac{{3\sqrt 7 }}{4}\).
Suy ra: \(h = SH = \frac{{3\sqrt 7 }}{4}\).
Vậy: \(S\left( {0;\frac{{3\sqrt 3 }}{4};\frac{{3\sqrt 7 }}{4}} \right)\).
Đường thẳng \(SA\) có vectơ chỉ phương:
\(\vec u = \overrightarrow {AS} = \left( {\frac{3}{2};\frac{{3\sqrt 3 }}{4};\frac{{3\sqrt 7 }}{4}} \right)\).
Đường thẳng \(CI\) có vectơ chỉ phương:
\(\vec v = (0;1;0)\).
Lấy điểm \(A\) trên \(SA\) và điểm \(I\) trên \(CI\), ta có:
\(\overrightarrow {AI} = \left( {\frac{3}{2};0;0} \right)\).
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau \(SA\) và \(CI\) là:
\(d = \frac{{|\overrightarrow {AI} .(\vec u \times \vec v)|}}{{|\vec u \times \vec v|}}\).
Ta có:
\(\vec u \times \vec v = \left( { – \frac{{3\sqrt 7 }}{4};0;\frac{3}{2}} \right)\).
Do đó:
\(|\vec u \times \vec v| = \sqrt {\frac{{63}}{{16}} + \frac{9}{4}} = \sqrt {\frac{{99}}{{16}}} = \frac{{3\sqrt {11} }}{4}\).
Và:
\(|\overrightarrow {AI} .(\vec u \times \vec v)| = \left| {\frac{3}{2}.\left( { – \frac{{3\sqrt 7 }}{4}} \right)} \right| = \frac{{9\sqrt 7 }}{8}\).
Suy ra:
\(d = \frac{{\frac{{9\sqrt 7 }}{8}}}{{\frac{{3\sqrt {11} }}{4}}} = \frac{{3\sqrt {77} }}{{22}} \approx 1,196\).
Làm tròn đến hàng phần mười được:
\(d \approx 1,2\).
Đáp án: \(1,2\).
Câu 20:
Cho hàm số \(f(x) = \frac{{{x^2} + bx + 2}}{{x – c}}\) với \(b,c\) lần lượt là số chấm trên mặt xuất hiện của hai lần tung một con xúc xắc cân đối đồng chất. Biết xác suất để hàm số \(f(x)\) nghịch biến trên khoảng \((2;4)\) là \(\frac{m}{n}\)\((m,n \in {\mathbb{N}^*},\frac{m}{n}\) là phân số tối giản). Tính \({m^2} + {n^2}\).
Cho: \(f(x) = \frac{{{x^2} + bx + 2}}{{x – c}}\),
trong đó \(b,c\) là số chấm xuất hiện trong hai lần tung xúc xắc, nên \(b,c \in 1;2;3;4;5;6\).
Ta có: \(f'(x) = \frac{{(2x + b)(x – c) – ({x^2} + bx + 2)}}{{{{(x – c)}^2}}}\).
Rút gọn tử số:
\((2x + b)(x – c) – ({x^2} + bx + 2) = {x^2} – 2cx – bc – 2\).
Vậy:
\(f'(x) = \frac{{{x^2} – 2cx – bc – 2}}{{{{(x – c)}^2}}}\).
Vì \({(x – c)^2} > 0\) với \(x \ne c\), nên dấu của \(f'(x)\) phụ thuộc vào:
\(q(x) = {x^2} – 2cx – bc – 2\).
Để hàm số nghịch biến trên \((2;4)\), trước hết hàm số phải xác định trên toàn khoảng này. Do đó \(c \ne 3\).
Xét từng trường hợp của \(c\):
Trường hợp \(c = 1\):\(q(x) = {x^2} – 2x – b – 2\).
Trên \((2;4)\), \(q(x)\) tăng, nên cần \(q(4) \leqslant 0\).
\(q(4) = 16 – 8 – b – 2 = 6 – b\).
Do đó \(6 – b \leqslant 0 \Rightarrow b \geqslant 6\).
Vì \(b \in 1;2;3;4;5;6\) nên chỉ có \(b = 6\).
Có \(1\) trường hợp.
Trường hợp \(c = 2\):\(c = 2\) không thuộc khoảng \((2;4)\) vì \(2\) là đầu mút, nên hàm số vẫn xác định trên \((2;4)\).
\(q(4) = 16 – 16 – 2b – 2 = – 2b – 2 < 0\) với mọi \(b\).
Có \(6\) trường hợp.
Trường hợp \(c = 3\):\(c = 3 \in (2;4)\), hàm số không xác định tại \(x = 3\), nên loại.
Có \(0\) trường hợp.
Trường hợp \(c = 4,5,6\):
Với các giá trị này, kiểm tra được \(q(x) < 0\) trên \((2;4)\) với mọi \(b \in 1;2;3;4;5;6\).
Có \(3.6 = 18\) trường hợp.
Tổng số trường hợp thuận lợi là: \(1 + 6 + 0 + 18 = 25\).
Tổng số trường hợp có thể là: \(6.6 = 36\).
Vậy xác suất là: \(\frac{{25}}{{36}}\).
Suy ra \(m = 25\), \(n = 36\).
Do đó:
\({m^2} + {n^2} = {25^2} + {36^2} = 625 + 1296 = 1921\).
Đáp án: \(1921\).
trong đó \(b,c\) là số chấm xuất hiện trong hai lần tung xúc xắc, nên \(b,c \in 1;2;3;4;5;6\).
Ta có: \(f'(x) = \frac{{(2x + b)(x – c) – ({x^2} + bx + 2)}}{{{{(x – c)}^2}}}\).
Rút gọn tử số:
\((2x + b)(x – c) – ({x^2} + bx + 2) = {x^2} – 2cx – bc – 2\).
Vậy:
\(f'(x) = \frac{{{x^2} – 2cx – bc – 2}}{{{{(x – c)}^2}}}\).
Vì \({(x – c)^2} > 0\) với \(x \ne c\), nên dấu của \(f'(x)\) phụ thuộc vào:
\(q(x) = {x^2} – 2cx – bc – 2\).
Để hàm số nghịch biến trên \((2;4)\), trước hết hàm số phải xác định trên toàn khoảng này. Do đó \(c \ne 3\).
Xét từng trường hợp của \(c\):
Trường hợp \(c = 1\):\(q(x) = {x^2} – 2x – b – 2\).
Trên \((2;4)\), \(q(x)\) tăng, nên cần \(q(4) \leqslant 0\).
\(q(4) = 16 – 8 – b – 2 = 6 – b\).
Do đó \(6 – b \leqslant 0 \Rightarrow b \geqslant 6\).
Vì \(b \in 1;2;3;4;5;6\) nên chỉ có \(b = 6\).
Có \(1\) trường hợp.
Trường hợp \(c = 2\):\(c = 2\) không thuộc khoảng \((2;4)\) vì \(2\) là đầu mút, nên hàm số vẫn xác định trên \((2;4)\).
\(q(4) = 16 – 16 – 2b – 2 = – 2b – 2 < 0\) với mọi \(b\).
Có \(6\) trường hợp.
Trường hợp \(c = 3\):\(c = 3 \in (2;4)\), hàm số không xác định tại \(x = 3\), nên loại.
Có \(0\) trường hợp.
Trường hợp \(c = 4,5,6\):
Với các giá trị này, kiểm tra được \(q(x) < 0\) trên \((2;4)\) với mọi \(b \in 1;2;3;4;5;6\).
Có \(3.6 = 18\) trường hợp.
Tổng số trường hợp thuận lợi là: \(1 + 6 + 0 + 18 = 25\).
Tổng số trường hợp có thể là: \(6.6 = 36\).
Vậy xác suất là: \(\frac{{25}}{{36}}\).
Suy ra \(m = 25\), \(n = 36\).
Do đó:
\({m^2} + {n^2} = {25^2} + {36^2} = 625 + 1296 = 1921\).
Đáp án: \(1921\).
Câu 21:
Tại một khu trung tâm dữ liệu, kỹ sư IT cần kiểm tra kết nối giữa các máy chủ trong hệ thống gồm các trạm \(A,B,C,D,E\). Các tuyến cáp quang nối giữa các trạm được biểu diễn trong sơ đồ sau, với chữ số ghi trên mỗi tuyến là chiều dài dây cáp (đơn vị: kilômét). Kỹ sư cần thực hiện một hành trình bắt đầu từ một trạm bất kỳ, đi qua tất cả các tuyến cáp ít nhất một lần và kết thúc tại đúng trạm khởi hành, nhằm đảm bảo toàn bộ hệ thống được kiểm tra. Tổng chiều dài đường đi ngắn nhất mà kỹ sư cần di chuyển là bao nhiêu kilômét? 
Bài toán yêu cầu đi qua tất cả các cạnh ít nhất một lần và quay về đúng điểm xuất phát. Đây là bài toán người đưa thư Trung Hoa.
Các cạnh và độ dài là:
\(AB = 2\), \(BC = 1\), \(AC = 3\), \(AD = 3\), \(DE = 3\), \(BE = 4\), \(CE = 4\).
Tổng độ dài tất cả các cạnh là:
\(2 + 1 + 3 + 3 + 3 + 4 + 4 = 20\).
Xét bậc các đỉnh:
Đỉnh \(A\) nối với \(B,C,D\) nên bậc \(3\).
Đỉnh \(B\) nối với \(A,C,E\) nên bậc \(3\).
Đỉnh \(C\) nối với \(A,B,E\) nên bậc \(3\).
Đỉnh \(D\) nối với \(A,E\) nên bậc \(2\).
Đỉnh \(E\) nối với \(D,B,C\) nên bậc \(3\).
Các đỉnh bậc lẻ là \(A,B,C,E\).
Để có chu trình Euler, cần ghép các đỉnh bậc lẻ theo từng cặp sao cho tổng đường đi thêm là nhỏ nhất.
Tính các khoảng cách ngắn nhất:
\(AB = 2\).
\(CE = 4\).
\(AC = 3\).
\(BE = 4\).
\(AE = 6\) vì có thể đi \(A – D – E\), độ dài \(3 + 3 = 6\).
\(BC = 1\).
Các cách ghép:
Ghép \((A,B)\) và \((C,E)\): thêm \(2 + 4 = 6\).
Ghép \((A,C)\) và \((B,E)\): thêm \(3 + 4 = 7\).
Ghép \((A,E)\) và \((B,C)\): thêm \(6 + 1 = 7\).
Nhỏ nhất là \(6\).
Vậy tổng quãng đường ngắn nhất cần đi là:
\(20 + 6 = 26\) km.
Đáp án: \(26\) km.
Các cạnh và độ dài là:
\(AB = 2\), \(BC = 1\), \(AC = 3\), \(AD = 3\), \(DE = 3\), \(BE = 4\), \(CE = 4\).
Tổng độ dài tất cả các cạnh là:
\(2 + 1 + 3 + 3 + 3 + 4 + 4 = 20\).
Xét bậc các đỉnh:
Đỉnh \(A\) nối với \(B,C,D\) nên bậc \(3\).
Đỉnh \(B\) nối với \(A,C,E\) nên bậc \(3\).
Đỉnh \(C\) nối với \(A,B,E\) nên bậc \(3\).
Đỉnh \(D\) nối với \(A,E\) nên bậc \(2\).
Đỉnh \(E\) nối với \(D,B,C\) nên bậc \(3\).
Các đỉnh bậc lẻ là \(A,B,C,E\).
Để có chu trình Euler, cần ghép các đỉnh bậc lẻ theo từng cặp sao cho tổng đường đi thêm là nhỏ nhất.
Tính các khoảng cách ngắn nhất:
\(AB = 2\).
\(CE = 4\).
\(AC = 3\).
\(BE = 4\).
\(AE = 6\) vì có thể đi \(A – D – E\), độ dài \(3 + 3 = 6\).
\(BC = 1\).
Các cách ghép:
Ghép \((A,B)\) và \((C,E)\): thêm \(2 + 4 = 6\).
Ghép \((A,C)\) và \((B,E)\): thêm \(3 + 4 = 7\).
Ghép \((A,E)\) và \((B,C)\): thêm \(6 + 1 = 7\).
Nhỏ nhất là \(6\).
Vậy tổng quãng đường ngắn nhất cần đi là:
\(20 + 6 = 26\) km.
Đáp án: \(26\) km.
Câu 22:
Để chào mừng Ngày Quốc tế phụ nữ 8/3, bạn Bình muốn tự làm một món quà tặng mẹ. Từ một tấm bìa hình vuông cạnh 10 (dm), Bình dùng các đồ thị của hàm số \(y = f(x)\) và \(x = f(y)\) để vẽ hoa tặng mẹ, nhụy hoa được vẽ bằng đường tròn có tâm là tâm hình vuông và bán kính bằng 2 (dm). Khi đặt trong hệ trục tọa độ \(Oxy\) thì điểm \(A(2;0)\) và đường cong \(AB\) là một phần của đồ thị hàm đa thức bậc ba \(y = \frac{1}{2}{x^3} + a{x^2} + bx + c\). Biết rằng tỷ lệ phần tô đậm (gồm cánh và nhụy hoa) chiếm \(\frac{3}{4}\) diện tích hình vuông. Tính \( – 9a + b + c\).
Tấm bìa là hình vuông cạnh \(10\), đặt tâm hình vuông tại gốc tọa độ \(O\). Khi đó mỗi phần tư hình vuông có diện tích:
\(\frac{{10.10}}{4} = 25\).
Phần tô đậm chiếm \(\frac{3}{4}\) diện tích hình vuông nên diện tích tô đậm là:
\(\frac{3}{4}.100 = 75\).
Do hình vẽ đối xứng qua hai trục tọa độ nên diện tích tô đậm trong mỗi phần tư là:
\(\frac{{75}}{4}\).
Ở góc phần tư thứ nhất, điểm \(A(2;0)\), điểm \(B\) là đỉnh trên bên phải của hình vuông nên \(B(5;5)\).
Đường cong \(AB\) là một phần của đồ thị:
\(f(x) = \frac{1}{2}{x^3} + a{x^2} + bx + c\).
Vì đường cong đi qua \(A(2;0)\) và \(B(5;5)\) nên:
\(f(2) = 0\) và \(f(5) = 5\).
Từ \(f(2) = 0\):
\(\frac{1}{2}{.2^3} + 4a + 2b + c = 0\).
Suy ra: \(4a + 2b + c = – 4\). (1)
Từ \(f(5) = 5\):
\(\frac{1}{2}{.5^3} + 25a + 5b + c = 5\).
Suy ra: \(25a + 5b + c = – \frac{{115}}{2}\). (2)
Gọi \(I = \int_2^5 f (x)dx\).
Trong một phần tư hình vuông, phần tô đậm được giới hạn bởi hai đường cong đối xứng \(y = f(x)\) và \(x = f(y)\). Vì hai phần không tô đậm đối xứng nhau, mỗi phần có diện tích \(I\), nên:
\(25 – 2I = \frac{{75}}{4}\).
Suy ra: \(2I = 25 – \frac{{75}}{4} = \frac{{25}}{4}\).
Do đó: \(I = \frac{{25}}{8}\).
Vậy: \(\int_2^5 {\left( {\frac{1}{2}{x^3} + a{x^2} + bx + c} \right)} dx = \frac{{25}}{8}\).
Tính tích phân:
\(\left[ {\frac{{{x^4}}}{8} + \frac{{a{x^3}}}{3} + \frac{{b{x^2}}}{2} + cx} \right]_2^5 = \frac{{25}}{8}\).
Suy ra: \(\frac{{609}}{8} + 39a + \frac{{21}}{2}b + 3c = \frac{{25}}{8}\).
Do đó: \(39a + \frac{{21}}{2}b + 3c = – 73\).
Nhân cả hai vế với \(2\):
\(78a + 21b + 6c = – 146\). (3)
Từ hệ:
\(4a + 2b + c = – 4\),
\(25a + 5b + c = – \frac{{115}}{2}\),
\(78a + 21b + 6c = – 146\),
giải được: \(a = – \frac{{77}}{{18}}\), \(b = \frac{{109}}{9}\), \(c = – \frac{{100}}{9}\).
Vậy:
\( – 9a + b + c = – 9.\left( { – \frac{{77}}{{18}}} \right) + \frac{{109}}{9} – \frac{{100}}{9}\).
\( – 9a + b + c = \frac{{77}}{2} + 1 = \frac{{79}}{2} = 39,5\).
Đáp án: \(39,5\).
\(\frac{{10.10}}{4} = 25\).
Phần tô đậm chiếm \(\frac{3}{4}\) diện tích hình vuông nên diện tích tô đậm là:
\(\frac{3}{4}.100 = 75\).
Do hình vẽ đối xứng qua hai trục tọa độ nên diện tích tô đậm trong mỗi phần tư là:
\(\frac{{75}}{4}\).
Ở góc phần tư thứ nhất, điểm \(A(2;0)\), điểm \(B\) là đỉnh trên bên phải của hình vuông nên \(B(5;5)\).
Đường cong \(AB\) là một phần của đồ thị:
\(f(x) = \frac{1}{2}{x^3} + a{x^2} + bx + c\).
Vì đường cong đi qua \(A(2;0)\) và \(B(5;5)\) nên:
\(f(2) = 0\) và \(f(5) = 5\).
Từ \(f(2) = 0\):
\(\frac{1}{2}{.2^3} + 4a + 2b + c = 0\).
Suy ra: \(4a + 2b + c = – 4\). (1)
Từ \(f(5) = 5\):
\(\frac{1}{2}{.5^3} + 25a + 5b + c = 5\).
Suy ra: \(25a + 5b + c = – \frac{{115}}{2}\). (2)
Gọi \(I = \int_2^5 f (x)dx\).
Trong một phần tư hình vuông, phần tô đậm được giới hạn bởi hai đường cong đối xứng \(y = f(x)\) và \(x = f(y)\). Vì hai phần không tô đậm đối xứng nhau, mỗi phần có diện tích \(I\), nên:
\(25 – 2I = \frac{{75}}{4}\).
Suy ra: \(2I = 25 – \frac{{75}}{4} = \frac{{25}}{4}\).
Do đó: \(I = \frac{{25}}{8}\).
Vậy: \(\int_2^5 {\left( {\frac{1}{2}{x^3} + a{x^2} + bx + c} \right)} dx = \frac{{25}}{8}\).
Tính tích phân:
\(\left[ {\frac{{{x^4}}}{8} + \frac{{a{x^3}}}{3} + \frac{{b{x^2}}}{2} + cx} \right]_2^5 = \frac{{25}}{8}\).
Suy ra: \(\frac{{609}}{8} + 39a + \frac{{21}}{2}b + 3c = \frac{{25}}{8}\).
Do đó: \(39a + \frac{{21}}{2}b + 3c = – 73\).
Nhân cả hai vế với \(2\):
\(78a + 21b + 6c = – 146\). (3)
Từ hệ:
\(4a + 2b + c = – 4\),
\(25a + 5b + c = – \frac{{115}}{2}\),
\(78a + 21b + 6c = – 146\),
giải được: \(a = – \frac{{77}}{{18}}\), \(b = \frac{{109}}{9}\), \(c = – \frac{{100}}{9}\).
Vậy:
\( – 9a + b + c = – 9.\left( { – \frac{{77}}{{18}}} \right) + \frac{{109}}{9} – \frac{{100}}{9}\).
\( – 9a + b + c = \frac{{77}}{2} + 1 = \frac{{79}}{2} = 39,5\).
Đáp án: \(39,5\).
Giải thích & Đáp án chi tiết
Câu 1
Đáp án đúng: C
\(x = 1\).
Câu 2
Đáp án đúng: D
\((0;0; - 1)\).
Câu 3
Đáp án đúng: C
\(187,13\).
Câu 4
Đáp án đúng: D
\( - 1\).
Câu 5
Đáp án đúng: B
\(S = - \int_{ - 2}^0 f (x)dx + \int_0^3 f (x)dx\).
Câu 6
Đáp án đúng: D
\(3\).
Câu 7
Đáp án đúng: C
\(x - y - z + 2 = 0\).
Câu 8
Đáp án đúng: C
\(\frac{{2\sqrt 5 a}}{5}\).
Câu 9
Đáp án đúng: B
\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC'} \).
Câu 10
Đáp án đúng: D
Hàm số đã cho là hàm số lẻ.
Câu 11
Đáp án đúng: B
\(2{a^3}\).
Câu 12
Đáp án đúng: D
\( - 2\).
Câu 13
Đáp án đúng: A
Xác suất để học sinh được chọn biết bơi, biết rằng học sinh đó không tham gia câu lạc bộ thể thao, bằng \(0,2\).
Câu 14
Đáp án đúng: A
Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng \((1;3)\).
Câu 15
Đáp án đúng: A
Côsin của góc tạo bởi đường thẳng \(d\) và mặt phẳng \((P)\) bằng \(\frac{{\sqrt {30} }}{6}\).
Câu 16
Đáp án đúng: A
Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = f(x)\) trên đoạn \([ - 1;2]\) đạt tại \(x = 1\).
Câu 17
Đáp án đúng: A
Câu 18
Đáp án đúng: A
Câu 19
Đáp án đúng: A
Câu 20
Đáp án đúng: A
Câu 21
Đáp án đúng: A
Câu 22
Đáp án đúng: A
Hướng Dẫn Thao Tác Trực Tiếp Trên Giao Diện Bài Thi Đề Thi Thử Tốt Nghiệp Online Môn Toán 2026 Sở GD Tuyên Quang Lần 2
Để giúp người dùng, đặc biệt là các bạn học sinh lần đầu tiếp xúc với hình thức thi máy tính, dễ dàng thao tác mà không gặp sự cố, bài thi Đề Thi Thử Tốt Nghiệp Online Môn Toán 2026 Sở GD Tuyên Quang Lần 2 được lập trình với một giao diện vô cùng đơn giản và thân thiện. Ở góc trên cùng màn hình là hệ thống đồng hồ đếm ngược; khi thời gian kết thúc, hệ thống sẽ tự động khóa bài làm và thu bài. Khung bên trái hiển thị danh sách toàn bộ số thứ tự câu hỏi trong đề, cho phép bạn nhảy (jump) nhanh đến bất kỳ câu hỏi nào mà không cần lật từng trang. Đối với mỗi câu hỏi, bạn chỉ cần sử dụng chuột nhấp vào phương án A, B, C hoặc D mà mình cho là chính xác. Nếu phát hiện sai sót, bạn hoàn toàn có thể click chọn lại một phương án khác trước khi hết giờ. Nếu gặp một câu quá khó, bạn có thể sử dụng chức năng Đánh dấu (Mark/Flag) để tạm thời bỏ qua và quay lại suy nghĩ sau, giúp tối ưu hóa thời gian làm bài hiệu quả nhất.
Phân Tích Kết Quả Và Hệ Thống Lời Giải Chuyên Sâu
Giây phút quan trọng nhất của mọi kỳ thi là lúc nhấn nút "Nộp bài". Khác biệt hoàn toàn với phương pháp truyền thống, hệ thống chấm thi tự động của bài kiểm tra Đề Thi Thử Tốt Nghiệp Online Môn Toán 2026 Sở GD Tuyên Quang Lần 2 hoạt động không độ trễ. Ngay lập tức, bạn sẽ nhận được bảng tổng kết chi tiết bao gồm: Tổng số điểm (thang điểm 10 hoặc 100), Thời gian làm bài thực tế, Số câu trả lời đúng, Số câu sai và Số câu chưa làm. Không dừng lại ở việc báo điểm số, bên dưới bảng tổng hợp là một bản đối chiếu đáp án chi tiết. Hệ thống sẽ hiển thị lại từng câu hỏi, đánh dấu tích xanh vào phương án đúng và dấu x chéo đỏ vào phương án bạn chọn sai. Kèm theo đó là một bảng thông báo hiển thị chi tiết phương pháp giải, công thức áp dụng hoặc những ghi chú lưu ý về các bẫy (tricks) thường gặp trong đề thi. Việc học từ những lỗi sai của bài Đề Thi Thử Tốt Nghiệp Online Môn Toán 2026 Sở GD Tuyên Quang Lần 2 chính là cách nhanh nhất để nâng cao điểm số của bạn trong tương lai.
Kỹ Năng Kiểm Soát Thời Gian Và Tâm Lý Phòng Thi
Nhiều học sinh dù có nền tảng kiến thức vững vàng nhưng vẫn đạt điểm thấp trong bài thi Đề Thi Thử Tốt Nghiệp Online Môn Toán 2026 Sở GD Tuyên Quang Lần 2 do thiếu kỹ năng làm bài trắc nghiệm. Dưới đây là một số chiến thuật thực chiến bạn cần áp dụng:
- Quy tắc "Dễ làm trước, Khó để sau": Đừng tốn quá 2 phút cho một câu hỏi khó. Hãy lướt một vòng và giải quyết triệt để 60% số câu hỏi nhận biết và thông hiểu đầu tiên để nắm chắc điểm trung bình, tạo đà tâm lý thoải mái.
- Kỹ thuật loại trừ phương án nhiễu: Trong 4 phương án, thường sẽ có 2 phương án sai hoàn toàn có thể dễ dàng nhận ra. Việc loại trừ bớt lựa chọn sẽ nâng tỷ lệ đánh lụi đúng lên 50%.
- Phân bổ thời gian: Luôn dành ra ít nhất 3-5 phút cuối giờ để dò lại toàn bộ bài thi Đề Thi Thử Tốt Nghiệp Online Môn Toán 2026 Sở GD Tuyên Quang Lần 2, đảm bảo không bỏ sót bất kỳ câu hỏi nào chưa đánh dấu đáp án.
- Giữ vững tâm lý: Việc làm thử bài Đề Thi Thử Tốt Nghiệp Online Môn Toán 2026 Sở GD Tuyên Quang Lần 2 nhiều lần với đồng hồ đếm ngược sẽ giúp bạn làm quen với áp lực thời gian, không bị hoảng loạn khi thời gian sắp hết, từ đó duy trì được sự tập trung cao độ nhất.
Lưu Lại Kết Quả Và Đóng Góp Xây Dựng Đề Thi
Một tính năng vô cùng hữu ích trên hệ thống của chúng tôi là Lịch sử làm bài. Mọi kết quả, điểm số của bạn sau khi hoàn thành đề thi Đề Thi Thử Tốt Nghiệp Online Môn Toán 2026 Sở GD Tuyên Quang Lần 2 đều được tự động lưu lại trong hồ sơ cá nhân. Bạn có thể xem lại những bài mình đã làm cách đây nhiều tuần để đánh giá sự tiến bộ, hoặc làm lại (retry) chính bài thi đó để xem mình có mắc lại những lỗi sai cũ hay không. Ngoài ra, việc tổ chức các kỳ thi trắc nghiệm trực tuyến đòi hỏi nguồn cơ sở dữ liệu khổng lồ. Mặc dù đề thi Đề Thi Thử Tốt Nghiệp Online Môn Toán 2026 Sở GD Tuyên Quang Lần 2 đã được rà soát kỹ lưỡng, nhưng không thể tránh khỏi những sai sót nhỏ giọt về lỗi chính tả (typos) hoặc hiển thị công thức lỗi. Nếu bạn phát hiện ra bất kỳ điều bất thường nào, hãy giúp chúng tôi báo cáo lỗi thông qua nút Báo Cáo Câu Hỏi (Report). Đội ngũ học thuật sẽ tiếp nhận và chỉnh sửa kịp thời, đảm bảo mang đến một môi trường luyện thi hoàn hảo và minh bạch nhất cho cộng đồng học sinh toàn quốc.