Giải mục 2 trang 4, 5, 6, 7 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

Tổng quan nội dung

Hướng Dẫn Giải: Giải mục 2 trang 4, 5, 6, 7 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá (Môn Toán học Lớp 12)

Bạn đang theo dõi phần hướng dẫn giải chi tiết và chuyên sâu dành riêng cho bài học Giải mục 2 trang 4, 5, 6, 7 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá. Đây là một nội dung học tập quan trọng nằm trong chương trình môn Toán học của học sinh lớp 12, được trích xuất từ bộ SGK chuẩn . Trong bài học này, chúng tôi không chỉ cung cấp đáp án chính xác cho các câu hỏi phần lý thuyết, mà còn giải mã cặn kẽ từng bài tập tự luận và trắc nghiệm nằm ở cuối bài. Mỗi bước biến đổi công thức, mỗi luận điểm đưa ra đều được đội ngũ giáo viên phân tích rõ ràng, giúp học sinh nắm bắt được phương pháp tư duy và áp dụng thành thạo cho các dạng bài kiểm tra tương tự. Hãy cùng chuẩn bị vở nháp và theo dõi sát sao từng bước giải dưới đây để củng cố vững chắc kiến thức của bạn nhé.

Tìm a) \(\int {{x^{\frac{2}{3}}}dx;} \) b) \(\int {\frac{1}{{\sqrt {{x^3}} }}} dx\).

HĐ3 LT3 HĐ4 LT4 HĐ5 LT5 LT6 VD1

HĐ3

Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 4 SGK Toán 12 Cùng khám phá

a) Tính đạo hàm của hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3}\).

b) Tính đạo hàm của hàm số \(y = \ln \left| x \right|\)trên các khoảng \(( - \infty ;0)\) và \((0; + \infty )\).

Phương pháp giải:

a) Sử dụng công thức tính đạo hàm của hàm số đa thức:

\(\frac{d}{{dx}}(a{x^n}) = a \cdot n \cdot {x^{n - 1}}\)

b) Chia bài toán thành các khoảng, áp dụng công thức sau để tính đạo hàm của hàm logarit cho từng khoảng.

\(\frac{d}{{dx}}(\ln x) = \frac{1}{x}\)

Lời giải chi tiết:

Áp dụng quy tắc đạo hàm cho hàm số dạng \(a{x^n}\), với \(a = \frac{1}{3}\) và \(n = 3\), ta có:

\(\frac{d}{{dx}}\left( {\frac{1}{3}{x^3}} \right) = \frac{1}{3} \cdot 3 \cdot {x^{3 - 1}} = {x^2}\)

Trên khoảng \((0, + \infty )\):, \(|x| = x\). Do đó, hàm số trở thành \(y = \ln x\). Áp dụng quy tắc đạo hàm cho hàm số \(\ln x\), ta có:

\(\frac{d}{{dx}}(\ln x) = \frac{1}{x}\)

Trên khoảng \(( - \infty ,0)\), \(|x| = - x\). Do đó, hàm số trở thành \(y = \ln ( - x)\). Áp dụng quy tắc đạo hàm cho hàm số \(\ln ( - x)\), ta có:

\(\frac{d}{{dx}}(\ln ( - x)) = \frac{1}{{ - x}} \cdot ( - 1) = \frac{1}{x}\)

LT3

Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 5 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Tìm

a) \(\int {{x^{\frac{2}{3}}}dx;} \)

b) \(\int {\frac{1}{{\sqrt {{x^3}} }}} dx\).

Phương pháp giải:

a) Để tính tích phân của hàm số dạng \({x^n}\), với \(n \ne - 1\), ta sử dụng quy tắc tích phân cơ bản: \(\int {{x^n}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}} + C\).

trong đó \(C\) là hằng số tích phân.

b) Để tính tích phân của hàm số dạng \(\frac{1}{{{x^n}}}\), ta chuyển hàm số này thành dạng \({x^{ - n}}\) và sử dụng quy tắc tích phân cơ bản.

Lời giải chi tiết:

a) Tính tích phân

\(\int {{x^{\frac{2}{3}}}} {\mkern 1mu} dx\)

Áp dụng quy tắc tích phân cho hàm số dạng \({x^n}\), với \(n = \frac{2}{3}\):

\(\int {{x^{\frac{2}{3}}}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{x^{\frac{2}{3} + 1}}}}{{\frac{2}{3} + 1}} + C\)

Tính \(\frac{2}{3} + 1\):

\(\frac{2}{3} + 1 = \frac{2}{3} + \frac{3}{3} = \frac{5}{3}\)

Do đó:

\(\int {{x^{\frac{2}{3}}}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{x^{\frac{5}{3}}}}}{{\frac{5}{3}}} + C = \frac{3}{5}{x^{\frac{5}{3}}} + C\)

b) Tính tích phân

\(\int {\frac{1}{{\sqrt {{x^3}} }}} {\mkern 1mu} dx\)

Chuyển biểu thức \(\frac{1}{{\sqrt {{x^3}} }}\) thành dạng \({x^n}\):

\(\frac{1}{{\sqrt {{x^3}} }} = {x^{ - \frac{3}{2}}}\)

Áp dụng quy tắc tích phân cho hàm số \({x^n}\), với \(n = - \frac{3}{2}\):

\(\int {{x^{ - \frac{3}{2}}}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{x^{ - \frac{3}{2} + 1}}}}{{ - \frac{3}{2} + 1}} + C\)

Tính \( - \frac{3}{2} + 1\):

\( - \frac{3}{2} + 1 = - \frac{3}{2} + \frac{2}{2} = - \frac{1}{2}\)

Do đó:

\(\int {{x^{ - \frac{3}{2}}}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{x^{ - \frac{1}{2}}}}}{{ - \frac{1}{2}}} + C = - 2{x^{ - \frac{1}{2}}} + C\)

HĐ4

Trả lời câu hỏi Hoạt động 4 trang 6 SGK Toán 12 Cùng khám phá

a) Chứng minh hàm số \(F(x) = {e^x} + 3\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {e^x}\).

b) Chứng minh hàm số \(F(x) = \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}}\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {2^x}\).

Phương pháp giải:

Để chứng minh rằng một hàm số F(x) là một nguyên hàm của một hàm số f(x), ta cần chỉ ra rằng đạo hàm của F(x) bằng f(x).

Lời giải chi tiết:

a) Chứng minh hàm số \(F(x) = {e^x} + 3\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {e^x}\).

Để chứng minh rằng hàm số \(F(x) = {e^x} + 3\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {e^x}\), ta cần kiểm tra đạo hàm của \(F(x)\). Tính đạo hàm của \(F(x)\):

\(\frac{d}{{dx}}({e^x} + 3) = \frac{d}{{dx}}({e^x}) + \frac{d}{{dx}}(3)\)

\(\frac{d}{{dx}}({e^x}) = {e^x}{\rm{ và }}\frac{d}{{dx}}(3) = 0\)

\(\frac{d}{{dx}}({e^x} + 3) = {e^x} + 0 = {e^x}\)

Vậy:

\(\frac{d}{{dx}}({e^x} + 3) = {e^x} = f(x)\)

Do đó, \(F(x) = {e^x} + 3\) là một nguyên hàm của \(f(x) = {e^x}\).

b) Chứng minh hàm số \(F(x) = \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}}\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {2^x}\).

Để chứng minh rằng hàm số \(F(x) = \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}}\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {2^x}\), ta cần kiểm tra đạo hàm của \(F(x)\). Tính đạo hàm của \(F(x)\):

\(\frac{d}{{dx}}\left( {\frac{{{2^x}}}{{\ln 2}}} \right) = \frac{1}{{\ln 2}} \cdot \frac{d}{{dx}}({2^x})\)

\(\frac{d}{{dx}}({2^x}) = {2^x} \cdot \ln 2\)

\(\frac{d}{{dx}}\left( {\frac{{{2^x}}}{{\ln 2}}} \right) = \frac{1}{{\ln 2}} \cdot ({2^x} \cdot \ln 2) = {2^x}\)

Vậy:

\(\frac{d}{{dx}}\left( {\frac{{{2^x}}}{{\ln 2}}} \right) = {2^x} = f(x)\)

Do đó, \(F(x) = \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}}\) là một nguyên hàm của \(f(x) = {2^x}\).

LT4

Trả lời câu hỏi Luyện tập 4 trang 6 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Tìm

a) \(\int {\frac{1}{{{3^x}}}dx;} \)

b) \(\int {{e^{ - x}}} dx;\)

c) \(\int {\frac{{{2^x}}}{{{5^x}}}dx} \).

Phương pháp giải:

a) Để tính tích phân của hàm số dạng \(\frac{1}{{{a^x}}}\), ta có thể viết nó dưới dạng \({a^{ - x}}\). Áp dụng quy tắc tích phân cho hàm số \({a^x}\), ta có:

\(\int {{a^{ - x}}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{a^{ - x}}}}{{ - \ln a}} + C\)

trong đó \(C\) là hằng số tích phân.

b) Để tính tích phân của hàm số \({e^{ - x}}\), ta sử dụng quy tắc tích phân cho hàm số \({e^x}\). Đạo hàm của \({e^{ - x}}\) là \( - {e^{ - x}}\), vì vậy ta cần điều chỉnh dấu trong tích phân.

c) Để tính tích phân của hàm số dạng \(\frac{{{a^x}}}{{{b^x}}}\), ta có thể viết nó dưới dạng \({\left( {\frac{a}{b}} \right)^x}\). Áp dụng quy tắc tích phân cho hàm số \({a^x}\), ta có:

\(\int {{{\left( {\frac{a}{b}} \right)}^x}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{{\left( {\frac{a}{b}} \right)}^x}}}{{\ln \left( {\frac{a}{b}} \right)}} + C\)

Lời giải chi tiết:

Chuyển biểu thức \(\frac{1}{{{3^x}}}\) thành dạng \({3^{ - x}}\):

\(\frac{1}{{{3^x}}} = {3^{ - x}}\)

Áp dụng quy tắc tích phân:

\(\int {{3^{ - x}}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{3^{ - x}}}}{{ - \ln 3}} + C\)

Kết quả:

\(\int {\frac{1}{{{3^x}}}} {\mkern 1mu} dx = - \frac{{{3^{ - x}}}}{{\ln 3}} + C\)

Áp dụng quy tắc tích phân vào:

\(\int {{e^{ - x}}} {\mkern 1mu} dx\)

Đạo hàm của \({e^{ - x}}\) là \( - {e^{ - x}}\), do đó:

\(\int {{e^{ - x}}} {\mkern 1mu} dx = - {e^{ - x}} + C\)

Kết quả:

\(\int {{e^{ - x}}} {\mkern 1mu} dx = - {e^{ - x}} + C\)

Ta có:

\(\frac{{{2^x}}}{{{5^x}}} = {\left( {\frac{2}{5}} \right)^x}\)

Áp dụng quy tắc tích phân vào:

\(\int {{{\left( {\frac{2}{5}} \right)}^x}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{{\left( {\frac{2}{5}} \right)}^x}}}{{\ln \left( {\frac{2}{5}} \right)}} + C\)

Kết quả:

\(\int {\frac{{{2^x}}}{{{5^x}}}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{{\left( {\frac{2}{5}} \right)}^x}}}{{\ln \left( {\frac{2}{5}} \right)}} + C\)

HĐ5

Trả lời câu hỏi Hoạt động 5 trang 7 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) \(y = \sin x;\)

b) \(y = - \cos x;\)

c) \(y = \tan x;\)

d) \(y = - \cot x\).

Phương pháp giải:

Áp dụng các quy tắc tính đạo hàm lượng giác.

Lời giải chi tiết:

a) Đạo hàm của hàm số \(y = \sin x\):

Áp dụng quy tắc đạo hàm cho hàm số \(\sin x\), ta có:

\(\frac{d}{{dx}}(\sin x) = \cos x\)

b) Đạo hàm của hàm số \(y = - \cos x\):

Áp dụng quy tắc đạo hàm cho hàm số \( - \cos x\), ta có:

\(\frac{d}{{dx}}( - \cos x) = - \frac{d}{{dx}}(\cos x) = - ( - \sin x) = \sin x\)

c) Đạo hàm của hàm số \(y = \tan x\):

Hàm số \(\tan x\) có thể viết lại dưới dạng \(\frac{{\sin x}}{{\cos x}}\).

Áp dụng quy tắc đạo hàm cho hàm số dạng \(\frac{u}{v}\) với \(u = \sin x\) và \(v = \cos x\), ta có:

\(\frac{d}{{dx}}\left( {\frac{{\sin x}}{{\cos x}}} \right) = \frac{{\cos x \cdot \cos x - \sin x \cdot ( - \sin x)}}{{{{\cos }^2}x}} = \frac{{{{\cos }^2}x + {{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\)

d) Đạo hàm của hàm số \(y = - \cot x\):

Hàm số \(\cot x\) có thể viết lại dưới dạng \(\frac{{\cos x}}{{\sin x}}\).

Áp dụng quy tắc đạo hàm cho hàm số dạng \(\frac{u}{v}\) với \(u = \cos x\) và \(v = \sin x\), ta có:

\(\frac{d}{{dx}}\left( {\frac{{\cos x}}{{\sin x}}} \right) = \frac{{\sin x \cdot ( - \sin x) - \cos x \cdot \cos x}}{{{{\sin }^2}x}} = \frac{{ - {{\sin }^2}x - {{\cos }^2}x}}{{{{\sin }^2}x}} = \frac{{ - 1}}{{{{\sin }^2}x}}\)

LT5

Trả lời câu hỏi Luyện tập 5 trang 7 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Tìm nguyên hàm \(F\left( x \right)\) của hàm số \(f(x) = {3^x}\) biết \(F(0) = \frac{1}{{\ln 3}} + 2\).

Phương pháp giải:

- Áp dụng quy tắc tích phân cho hàm số mũ với cơ số a, tức là \(\int {{a^x}dx} \) với a>0 và a≠1.

- Sau khi tìm được nguyên hàm tổng quát, sử dụng điều kiện F(0) để xác định hằng số tích phân C.

Lời giải chi tiết:

Tính nguyên hàm của hàm số \({3^x}\):

\(\int {{3^x}} {\mkern 1mu} dx\)

- Áp dụng quy tắc tích phân cho hàm số mũ \({a^x}\):

\(\int {{a^x}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{a^x}}}{{\ln a}} + C\)

- Với \(a = 3\), ta có:

\(\int {{3^x}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{3^x}}}{{\ln 3}} + C\)

Sử dụng điều kiện ban đầu để xác định hằng số tích phân:

- Điều kiện ban đầu là \(F(0) = \frac{1}{{\ln 3}} + 2\). Thay \(x = 0\) vào nguyên hàm tổng quát:

\(F(0) = \frac{{{3^0}}}{{\ln 3}} + C\)

- Vì \({3^0} = 1\), ta có:

\(F(0) = \frac{1}{{\ln 3}} + C\)

- Theo điều kiện ban đầu:

\(\frac{1}{{\ln 3}} + C = \frac{1}{{\ln 3}} + 2\)

Kết quả:

\(F(x) = \frac{{{3^x}}}{{\ln 3}} + 2\)

LT6

Trả lời câu hỏi Luyện tập 6 trang 7 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Cho \(G(x)\) là nguyên hàm của hàm số \(g(x) = \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}\) thoả mãn \(G\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 0\). Tính \(G\left( {\frac{\pi }{4}} \right)\).

Phương pháp giải:

- Sử dụng phương pháp tích phân để tìm nguyên hàm của hàm số.

- Áp dụng điều kiện ban đầu \(G\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 0\) để tìm hằng số tích phân.

- Tính giá trị của \(G\left( {\frac{\pi }{4}} \right)\).

Lời giải chi tiết:

Nguyên hàm của \(g(x) = \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}\) là \(G(x) = - \cot x + C\), trong đó \(C\) là hằng số tích phân.

Ta có điều kiện \(G\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 0\), do đó:

\(G\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = - \cot \left( {\frac{\pi }{2}} \right) + C = 0 + C = 0 \Rightarrow C = 0\)

Vậy nguyên hàm cần tìm là:

\(G(x) = - \cot x\)

\(G\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = - \cot \left( {\frac{\pi }{4}} \right) = - 1\)

VD1

Trả lời câu hỏi Vận dụng 1 trang 7 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Người ta truyền nhiệt cho một bình nuôi cấy vi sinh vật từ 1°C. Tốc độ tăng nhiệt độ của bình tại thời điểm 𝑡 phút (0≤ 𝑡 ≤5) được cho bởi hàm số \[f(t) = 3{t^2}\] (°C/phút). Biết rằng nhiệt độ của bình đó tại thời điểm 𝑡 là một nguyên hàm của hàm số \[f(t)\], tìm nhiệt độ của bình tại thời điểm 3 phút kể từ khi truyền nhiệt.

Phương pháp giải:

- Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(t) = 3{t^2}\) để xác định nhiệt độ \(T(t)\) tại thời điểm \(t\).

- Sử dụng điều kiện ban đầu là nhiệt độ tại thời điểm bắt đầu là \({1^\circ }C\) để tìm hằng số tích phân.

- Tính nhiệt độ tại thời điểm \(t = 3\) phút.

Lời giải chi tiết:

Nguyên hàm của hàm số \(f(t) = 3{t^2}\) là:

\(T(t) = \int 3 {t^2}{\mkern 1mu} dt = {t^3} + C\)

trong đó \(C\) là hằng số tích phân.

Ta có điều kiện ban đầu là nhiệt độ tại thời điểm t = 0 là \({1^\circ }C\), do đó:

\(T(0) = {0^3} + C = 1 \Rightarrow C = 1\)

Vậy nhiệt độ tại thời điểm \(t\) phút là:

\(T(t) = {t^3} + 1\)

Tính nhiệt độ tại thời điểm \(t = 3\) phút:

\(T(3) = {3^3} + 1 = 27 + 1 = {28^\circ }C\)

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

HĐ3
LT3
HĐ4
LT4
LT5
HĐ5
LT6
VD1

Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 4 SGK Toán 12 Cùng khám phá

a) Tính đạo hàm của hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3}\).

b) Tính đạo hàm của hàm số \(y = \ln \left| x \right|\)trên các khoảng \(( - \infty ;0)\) và \((0; + \infty )\).

Phương pháp giải:

a) Sử dụng công thức tính đạo hàm của hàm số đa thức:

\(\frac{d}{{dx}}(a{x^n}) = a \cdot n \cdot {x^{n - 1}}\)

b) Chia bài toán thành các khoảng, áp dụng công thức sau để tính đạo hàm của hàm logarit cho từng khoảng.

\(\frac{d}{{dx}}(\ln x) = \frac{1}{x}\)

Lời giải chi tiết:

Áp dụng quy tắc đạo hàm cho hàm số dạng \(a{x^n}\), với \(a = \frac{1}{3}\) và \(n = 3\), ta có:

\(\frac{d}{{dx}}\left( {\frac{1}{3}{x^3}} \right) = \frac{1}{3} \cdot 3 \cdot {x^{3 - 1}} = {x^2}\)

Trên khoảng \((0, + \infty )\):, \(|x| = x\). Do đó, hàm số trở thành \(y = \ln x\). Áp dụng quy tắc đạo hàm cho hàm số \(\ln x\), ta có:

\(\frac{d}{{dx}}(\ln x) = \frac{1}{x}\)

Trên khoảng \(( - \infty ,0)\), \(|x| = - x\). Do đó, hàm số trở thành \(y = \ln ( - x)\). Áp dụng quy tắc đạo hàm cho hàm số \(\ln ( - x)\), ta có:

\(\frac{d}{{dx}}(\ln ( - x)) = \frac{1}{{ - x}} \cdot ( - 1) = \frac{1}{x}\)

Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 5 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Tìm

a) \(\int {{x^{\frac{2}{3}}}dx;} \)

b) \(\int {\frac{1}{{\sqrt {{x^3}} }}} dx\).

Phương pháp giải:

a) Để tính tích phân của hàm số dạng \({x^n}\), với \(n \ne - 1\), ta sử dụng quy tắc tích phân cơ bản: \(\int {{x^n}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}} + C\).

trong đó \(C\) là hằng số tích phân.

b) Để tính tích phân của hàm số dạng \(\frac{1}{{{x^n}}}\), ta chuyển hàm số này thành dạng \({x^{ - n}}\) và sử dụng quy tắc tích phân cơ bản.

Lời giải chi tiết:

a) Tính tích phân

\(\int {{x^{\frac{2}{3}}}} {\mkern 1mu} dx\)

Áp dụng quy tắc tích phân cho hàm số dạng \({x^n}\), với \(n = \frac{2}{3}\):

\(\int {{x^{\frac{2}{3}}}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{x^{\frac{2}{3} + 1}}}}{{\frac{2}{3} + 1}} + C\)

Tính \(\frac{2}{3} + 1\):

\(\frac{2}{3} + 1 = \frac{2}{3} + \frac{3}{3} = \frac{5}{3}\)

Do đó:

\(\int {{x^{\frac{2}{3}}}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{x^{\frac{5}{3}}}}}{{\frac{5}{3}}} + C = \frac{3}{5}{x^{\frac{5}{3}}} + C\)

b) Tính tích phân

\(\int {\frac{1}{{\sqrt {{x^3}} }}} {\mkern 1mu} dx\)

Chuyển biểu thức \(\frac{1}{{\sqrt {{x^3}} }}\) thành dạng \({x^n}\):

\(\frac{1}{{\sqrt {{x^3}} }} = {x^{ - \frac{3}{2}}}\)

Áp dụng quy tắc tích phân cho hàm số \({x^n}\), với \(n = - \frac{3}{2}\):

\(\int {{x^{ - \frac{3}{2}}}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{x^{ - \frac{3}{2} + 1}}}}{{ - \frac{3}{2} + 1}} + C\)

Tính \( - \frac{3}{2} + 1\):

\( - \frac{3}{2} + 1 = - \frac{3}{2} + \frac{2}{2} = - \frac{1}{2}\)

Do đó:

\(\int {{x^{ - \frac{3}{2}}}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{x^{ - \frac{1}{2}}}}}{{ - \frac{1}{2}}} + C = - 2{x^{ - \frac{1}{2}}} + C\)

Trả lời câu hỏi Hoạt động 4 trang 6 SGK Toán 12 Cùng khám phá

a) Chứng minh hàm số \(F(x) = {e^x} + 3\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {e^x}\).

b) Chứng minh hàm số \(F(x) = \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}}\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {2^x}\).

Phương pháp giải:

Để chứng minh rằng một hàm số F(x) là một nguyên hàm của một hàm số f(x), ta cần chỉ ra rằng đạo hàm của F(x) bằng f(x).

Lời giải chi tiết:

a) Chứng minh hàm số \(F(x) = {e^x} + 3\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {e^x}\).

Để chứng minh rằng hàm số \(F(x) = {e^x} + 3\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {e^x}\), ta cần kiểm tra đạo hàm của \(F(x)\). Tính đạo hàm của \(F(x)\):

\(\frac{d}{{dx}}({e^x} + 3) = \frac{d}{{dx}}({e^x}) + \frac{d}{{dx}}(3)\)

\(\frac{d}{{dx}}({e^x}) = {e^x}{\rm{ và }}\frac{d}{{dx}}(3) = 0\)

\(\frac{d}{{dx}}({e^x} + 3) = {e^x} + 0 = {e^x}\)

Vậy:

\(\frac{d}{{dx}}({e^x} + 3) = {e^x} = f(x)\)

Do đó, \(F(x) = {e^x} + 3\) là một nguyên hàm của \(f(x) = {e^x}\).

b) Chứng minh hàm số \(F(x) = \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}}\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {2^x}\).

\(\frac{d}{{dx}}\left( {\frac{{{2^x}}}{{\ln 2}}} \right) = \frac{1}{{\ln 2}} \cdot \frac{d}{{dx}}({2^x})\)

\(\frac{d}{{dx}}({2^x}) = {2^x} \cdot \ln 2\)

\(\frac{d}{{dx}}\left( {\frac{{{2^x}}}{{\ln 2}}} \right) = \frac{1}{{\ln 2}} \cdot ({2^x} \cdot \ln 2) = {2^x}\)

Vậy:

\(\frac{d}{{dx}}\left( {\frac{{{2^x}}}{{\ln 2}}} \right) = {2^x} = f(x)\)

Do đó, \(F(x) = \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}}\) là một nguyên hàm của \(f(x) = {2^x}\).

Trả lời câu hỏi Luyện tập 4 trang 6 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Tìm

a) \(\int {\frac{1}{{{3^x}}}dx;} \)

b) \(\int {{e^{ - x}}} dx;\)

c) \(\int {\frac{{{2^x}}}{{{5^x}}}dx} \).

Phương pháp giải:

a) Để tính tích phân của hàm số dạng \(\frac{1}{{{a^x}}}\), ta có thể viết nó dưới dạng \({a^{ - x}}\). Áp dụng quy tắc tích phân cho hàm số \({a^x}\), ta có:

\(\int {{a^{ - x}}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{a^{ - x}}}}{{ - \ln a}} + C\)

trong đó \(C\) là hằng số tích phân.

\(\int {{{\left( {\frac{a}{b}} \right)}^x}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{{\left( {\frac{a}{b}} \right)}^x}}}{{\ln \left( {\frac{a}{b}} \right)}} + C\)

Lời giải chi tiết:

Chuyển biểu thức \(\frac{1}{{{3^x}}}\) thành dạng \({3^{ - x}}\):

\(\frac{1}{{{3^x}}} = {3^{ - x}}\)

Áp dụng quy tắc tích phân:

\(\int {{3^{ - x}}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{3^{ - x}}}}{{ - \ln 3}} + C\)

Kết quả:

\(\int {\frac{1}{{{3^x}}}} {\mkern 1mu} dx = - \frac{{{3^{ - x}}}}{{\ln 3}} + C\)

Áp dụng quy tắc tích phân vào:

\(\int {{e^{ - x}}} {\mkern 1mu} dx\)

Đạo hàm của \({e^{ - x}}\) là \( - {e^{ - x}}\), do đó:

\(\int {{e^{ - x}}} {\mkern 1mu} dx = - {e^{ - x}} + C\)

Kết quả:

\(\int {{e^{ - x}}} {\mkern 1mu} dx = - {e^{ - x}} + C\)

Ta có:

\(\frac{{{2^x}}}{{{5^x}}} = {\left( {\frac{2}{5}} \right)^x}\)

Áp dụng quy tắc tích phân vào:

\(\int {{{\left( {\frac{2}{5}} \right)}^x}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{{\left( {\frac{2}{5}} \right)}^x}}}{{\ln \left( {\frac{2}{5}} \right)}} + C\)

Kết quả:

\(\int {\frac{{{2^x}}}{{{5^x}}}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{{\left( {\frac{2}{5}} \right)}^x}}}{{\ln \left( {\frac{2}{5}} \right)}} + C\)

Trả lời câu hỏi Luyện tập 5 trang 7 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Tìm nguyên hàm \(F\left( x \right)\) của hàm số \(f(x) = {3^x}\) biết \(F(0) = \frac{1}{{\ln 3}} + 2\).

Phương pháp giải:

- Áp dụng quy tắc tích phân cho hàm số mũ với cơ số a, tức là \(\int {{a^x}dx} \) với a>0 và a≠1.

- Sau khi tìm được nguyên hàm tổng quát, sử dụng điều kiện F(0) để xác định hằng số tích phân C.

Lời giải chi tiết:

Tính nguyên hàm của hàm số \({3^x}\):

\(\int {{3^x}} {\mkern 1mu} dx\)

- Áp dụng quy tắc tích phân cho hàm số mũ \({a^x}\):

\(\int {{a^x}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{a^x}}}{{\ln a}} + C\)

- Với \(a = 3\), ta có:

\(\int {{3^x}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{3^x}}}{{\ln 3}} + C\)

Sử dụng điều kiện ban đầu để xác định hằng số tích phân:

- Điều kiện ban đầu là \(F(0) = \frac{1}{{\ln 3}} + 2\). Thay \(x = 0\) vào nguyên hàm tổng quát:

\(F(0) = \frac{{{3^0}}}{{\ln 3}} + C\)

- Vì \({3^0} = 1\), ta có:

\(F(0) = \frac{1}{{\ln 3}} + C\)

- Theo điều kiện ban đầu:

\(\frac{1}{{\ln 3}} + C = \frac{1}{{\ln 3}} + 2\)

Kết quả:

\(F(x) = \frac{{{3^x}}}{{\ln 3}} + 2\)

Trả lời câu hỏi Hoạt động 5 trang 7 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) \(y = \sin x;\)

b) \(y = - \cos x;\)

c) \(y = \tan x;\)

d) \(y = - \cot x\).

Phương pháp giải:

Áp dụng các quy tắc tính đạo hàm lượng giác.

Lời giải chi tiết:

a) Đạo hàm của hàm số \(y = \sin x\):

Áp dụng quy tắc đạo hàm cho hàm số \(\sin x\), ta có:

\(\frac{d}{{dx}}(\sin x) = \cos x\)

b) Đạo hàm của hàm số \(y = - \cos x\):

Áp dụng quy tắc đạo hàm cho hàm số \( - \cos x\), ta có:

\(\frac{d}{{dx}}( - \cos x) = - \frac{d}{{dx}}(\cos x) = - ( - \sin x) = \sin x\)

c) Đạo hàm của hàm số \(y = \tan x\):

Hàm số \(\tan x\) có thể viết lại dưới dạng \(\frac{{\sin x}}{{\cos x}}\).

Áp dụng quy tắc đạo hàm cho hàm số dạng \(\frac{u}{v}\) với \(u = \sin x\) và \(v = \cos x\), ta có:

d) Đạo hàm của hàm số \(y = - \cot x\):

Hàm số \(\cot x\) có thể viết lại dưới dạng \(\frac{{\cos x}}{{\sin x}}\).

Áp dụng quy tắc đạo hàm cho hàm số dạng \(\frac{u}{v}\) với \(u = \cos x\) và \(v = \sin x\), ta có:

Trả lời câu hỏi Luyện tập 6 trang 7 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Cho \(G(x)\) là nguyên hàm của hàm số \(g(x) = \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}\) thoả mãn \(G\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 0\). Tính \(G\left( {\frac{\pi }{4}} \right)\).

Phương pháp giải:

- Sử dụng phương pháp tích phân để tìm nguyên hàm của hàm số.

- Áp dụng điều kiện ban đầu \(G\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 0\) để tìm hằng số tích phân.

- Tính giá trị của \(G\left( {\frac{\pi }{4}} \right)\).

Lời giải chi tiết:

Nguyên hàm của \(g(x) = \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}\) là \(G(x) = - \cot x + C\), trong đó \(C\) là hằng số tích phân.

Ta có điều kiện \(G\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 0\), do đó:

\(G\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = - \cot \left( {\frac{\pi }{2}} \right) + C = 0 + C = 0 \Rightarrow C = 0\)

Vậy nguyên hàm cần tìm là:

\(G(x) = - \cot x\)

\(G\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = - \cot \left( {\frac{\pi }{4}} \right) = - 1\)

Trả lời câu hỏi Vận dụng 1 trang 7 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Phương pháp giải:

- Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(t) = 3{t^2}\) để xác định nhiệt độ \(T(t)\) tại thời điểm \(t\).

- Sử dụng điều kiện ban đầu là nhiệt độ tại thời điểm bắt đầu là \({1^\circ }C\) để tìm hằng số tích phân.

- Tính nhiệt độ tại thời điểm \(t = 3\) phút.

Lời giải chi tiết:

Nguyên hàm của hàm số \(f(t) = 3{t^2}\) là:

\(T(t) = \int 3 {t^2}{\mkern 1mu} dt = {t^3} + C\)

trong đó \(C\) là hằng số tích phân.

Ta có điều kiện ban đầu là nhiệt độ tại thời điểm t = 0 là \({1^\circ }C\), do đó:

\(T(0) = {0^3} + C = 1 \Rightarrow C = 1\)

Vậy nhiệt độ tại thời điểm \(t\) phút là:

\(T(t) = {t^3} + 1\)

Tính nhiệt độ tại thời điểm \(t = 3\) phút:

\(T(3) = {3^3} + 1 = 27 + 1 = {28^\circ }C\)

Trọng Tâm Kiến Thức Cần Nắm Trong Bài Học Giải mục 2 trang 4, 5, 6, 7 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

Bài học Giải mục 2 trang 4, 5, 6, 7 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá mang đến những khái niệm mới có tính bản lề, đóng vai trò kết nối kiến thức của chương trước và mở ra tư duy cho những bài học tiếp theo trong môn Toán học. Đối với học sinh lớp 12, việc vượt qua những rào cản nhận thức ban đầu là vô cùng quan trọng. Trước khi bắt tay vào giải bài tập phần "Vận dụng", học sinh cần phải thực sự hiểu rõ và ghi nhớ các định nghĩa, định lý hay các quy luật xã hội đã được trình bày trong sách . Đội ngũ biên soạn của chúng tôi đã cẩn thận tổng hợp lại những điểm mù kiến thức mà học sinh thường hay nhầm lẫn nhất ở phần đầu của lời giải. Bằng cách ôn tập lại lý thuyết thông qua phần tóm tắt này, bạn sẽ xây dựng được một nền móng vững chãi, từ đó việc giải quyết các câu hỏi thực hành phức tạp phía sau sẽ trở nên nhẹ nhàng và logic hơn rất nhiều.

Phân Tích Chuyên Sâu Từng Bước Giải Bài Tập (Step-by-step Solution)

Sự khác biệt lớn nhất của một bài hướng dẫn giải chuẩn mực so với một cuốn sách bài giải thông thường trên thị trường chính là tính tương tác và độ chi tiết. Đối với các câu hỏi trong bài Giải mục 2 trang 4, 5, 6, 7 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá, chúng tôi áp dụng mô hình phân tích 3 bước (3-Step Analysis) vô cùng chặt chẽ:

Bước 1 - Khai thác giả thiết: Phân tích đề bài xem đề bài đã cho chúng ta những dữ kiện định lượng/định tính nào. Việc tóm tắt đề bài một cách khoa học giúp loại bỏ các thông tin nhiễu không cần thiết.
Bước 2 - Lựa chọn công cụ giải (Phương pháp): Dựa vào đặc điểm của môn Toán học lớp 12, chúng tôi sẽ chỉ ra rõ tại sao lại sử dụng công thức này mà không dùng công thức khác, hay tại sao lại phải phân tích vấn đề theo hướng này.
Bước 3 - Triển khai và Biện luận kết quả: Trình bày chi tiết từng dòng tính toán, từng câu lập luận để đi đến kết quả cuối cùng. Đặc biệt, chúng tôi luôn có phần kiểm tra lại (check) để chắc chắn kết quả tìm được thỏa mãn điều kiện bài toán.

Gợi Ý Các Mẹo Giải Nhanh Và Mở Rộng Kiến Thức Thực Tiễn

Sau khi đã nắm vững phương pháp giải bài bản, tự luận, học sinh cần được rèn luyện thêm các kỹ năng xử lý tình huống nhanh để phục vụ cho các bài thi trắc nghiệm khách quan. Trong phần mở rộng của bài Giải mục 2 trang 4, 5, 6, 7 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá, chúng tôi thường xuyên cung cấp các "mẹo" (tips) hoặc công thức tính nhẩm nhanh, hướng dẫn bấm máy tính cầm tay (Casio) cực kỳ hữu ích. Hơn nữa, vì bộ sách luôn đề cao triết lý "mang cuộc sống vào bài học, đưa bài học vào cuộc sống", các giáo viên của chúng tôi sẽ cố gắng liên hệ kết quả của bài toán, bài văn với những hiện tượng thực tiễn xảy ra xung quanh chúng ta. Việc mở rộng kiến thức này không chỉ thỏa mãn sự tò mò của những học sinh khá giỏi, mà còn nuôi dưỡng niềm yêu thích, biến môn Toán học vốn khô khan trở thành một lăng kính thú vị để khám phá thế giới.

Thảo Luận Cùng Chuyên Gia Và Cộng Đồng Học Sinh Toán học

Quá trình tự học chắc chắn sẽ không tránh khỏi những khoảnh khắc bế tắc khi bạn đọc kỹ lời giải bài Giải mục 2 trang 4, 5, 6, 7 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá mà vẫn chưa thực sự "sáng tỏ" một bước lập luận nào đó. Đừng lo lắng! Tính năng bình luận (Comment) phía dưới bài viết được thiết kế chính là để phục vụ cho nhu cầu hỏi đáp (Q&A) này. Hãy mạnh dạn đặt câu hỏi, chỉ rõ chỗ bạn chưa hiểu, đội ngũ cộng tác viên chuyên môn môn Toán học lớp 12 của website sẽ nhanh chóng vào giải đáp và gỡ rối cho bạn. Đồng thời, nếu bạn có một cách giải khác (Alternative Solution) ngắn gọn hơn, sáng tạo hơn cách giải mà chúng tôi cung cấp, hãy tự hào chia sẻ nó lên phần bình luận. Việc cùng nhau thảo luận, tranh biện một vấn đề học thuật không chỉ giúp cộng đồng phát triển mạnh mẽ mà còn là minh chứng rõ nét nhất cho tinh thần hiếu học của thế hệ trẻ Việt Nam.