Giải trang 96, 97, 98, 99, 100, 101 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá
Tổng quan nội dung
Hướng Dẫn Giải: Giải trang 96, 97, 98, 99, 100, 101 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá (Môn Toán học Lớp 12)
Bạn đang theo dõi phần hướng dẫn giải chi tiết và chuyên sâu dành riêng cho bài học Giải trang 96, 97, 98, 99, 100, 101 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá. Đây là một nội dung học tập quan trọng nằm trong chương trình môn Toán học của học sinh lớp 12, được trích xuất từ bộ SGK chuẩn . Trong bài học này, chúng tôi không chỉ cung cấp đáp án chính xác cho các câu hỏi phần lý thuyết, mà còn giải mã cặn kẽ từng bài tập tự luận và trắc nghiệm nằm ở cuối bài. Mỗi bước biến đổi công thức, mỗi luận điểm đưa ra đều được đội ngũ giáo viên phân tích rõ ràng, giúp học sinh nắm bắt được phương pháp tư duy và áp dụng thành thạo cho các dạng bài kiểm tra tương tự. Hãy cùng chuẩn bị vở nháp và theo dõi sát sao từng bước giải dưới đây để củng cố vững chắc kiến thức của bạn nhé.
Bảng 3.13 là mẫu số liệu ghép nhóm về lương của 40 nhân viên công ty M mà anh Bình có:
HĐ1
Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 96 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Bảng 3.13 là mẫu số liệu ghép nhóm về lương của 40 nhân viên công ty M mà anh Bình có:
a) Hãy ước tính lương trung bình \({\overline X _M}\) của 40 nhân viên.
b) Điều anh Bình quan tâm là độ lệch trung bình giữa lương của mỗi nhân viên so với lương trung bình \({\overline X _M}\). Anh Bình có thể ước lượng độ lệch giữa lương của những nhân viên thuộc nhóm thứ nhất (nhóm lương từ 3 đến dưới 5 triệu đồng) so với số trung bình qua giá trị nào?
c) Dựa vào công thức tính trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm và hai công thức tính phương sai, độ lệch chuẩn của mẫu số liệu không ghép nhóm, hãy đề xuất một cách ước tính phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu gốc mà anh Bình không có (bảng lương của từng người).
Phương pháp giải:
a) Công thức tính điểm trung bình
\({\bar X_M} = \frac{{\sum\limits_{i = 1}^k {\left( {{x_i}{n_i}} \right)} }}{N}\), trong đó:
- \({x_i}\) là giá trị đại diện của khoảng lương thứ \(i\).
- \({n_i}\) là tần số của khoảng lương thứ \(i\).
- \(N\) là tổng số nhân viên.
b) Sử dụng giá trị trung bình của nhóm lương từ 3 đến dưới 5 triệu đồng.
Công thức:
\(\Delta = \left| {{x_{[3;5)}} - {{\overline X }_M}} \right|\)
c)
- Công thức tính phương sai của mẫu số liệu không ghép nhóm là:
\({S^2} = \frac{1}{N}\sum\limits_{i = 1}^N {({x_i}} - \overline x {)^2}\)
- Công thức tính độ lệch chuẩn:
\(S = \sqrt {{S^2}} \)
Lời giải chi tiết:
a) Tính lương trung bình \({\overline X _M}\):
\(\begin{array}{l}[3;5):\frac{{3 + 5}}{2} = 4;\\(5;7):\frac{{5 + 7}}{2} = 6{\rm{ }};\\(7;9):\frac{{7 + 9}}{2} = 8{\rm{ }};\\(9;11)\frac{{9 + 11}}{2} = 10{\rm{ }};\\(11;13)\frac{{11 + 13}}{2} = 12{\rm{ }}\end{array}\)
Lương trung bình:
\({\overline X _M} = \frac{{\sum {{x_i}.{n_i}} }}{N} = \frac{{4.4 + 6.6 + 8.17 + 10.12 + 12.1}}{{40}} = 8\)
b) Ước lượng độ lệch trung bình:
Giá trị đại diện của nhóm thứ nhất (3 đến 5 triệu đồng): 4 triệu đồng
Độ lệch giữa lương của nhóm này và lương trung bình là:
\(\Delta = \left| {{x_{[3;5)}} - {{\overline X }_M}} \right| = \left| {4 - 8} \right| = 4\) triệu đồng
c)
Công thức tính trung bình là
\({\bar X_M} = \frac{{\sum\limits_{i = 1}^k {\left( {{x_i}{n_i}} \right)} }}{N}\)
Công thức tính phương sai của mẫu số liệu không ghép nhóm là:
\({S^2} = \frac{1}{N}\sum\limits_{i = 1}^N {({x_i}} - \overline x {)^2}\)
Ta biết rằng các giá trị \({x_i}\) nằm trong các nhóm, và mỗi nhóm có trung điểm \({x_j}\) và tần số \({n_j}\). Do đó, ta có thể viết lại tổng trên bằng cách thay thế từng \({x_i}\) trong mỗi nhóm bằng trung điểm \({x_j}\):
\({S^2} = \frac{1}{N}\sum\limits_{i = 1}^N {({x_i}} - \overline x {)^2} = \frac{1}{N}\sum\limits_{j = 1}^k {\sum\limits_{i = 1}^{{n_j}} {{{({x_i} - \overline x )}^2}} } = \frac{1}{N}\sum\limits_{j = 1}^k {{n_j}({x_j}} - \overline x {)^2}\)
Vậy công thức tính phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là:
\({S^2} = \frac{1}{N}\sum\limits_{j = 1}^k {{n_j}({x_j}} - \overline x {)^2}\)
Và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm vẫn là:
\(S = \sqrt {{S^2}} \).
VD1
Trả lời câu hỏi Vận dụng 1 trang 101 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Bộ phận kiểm tra chất lượng sản phẩm dùng máy để đo (chính xác đến 0,001 mm) độ dày của một chi tiết máy. Kết quả đo một số sản phẩm được thống kê trong bảng sau:
a) Tính phương sai và độ lệch chuẩn của độ dày chi tiết máy.
b) Giải thích tầm quan trọng của việc có độ lệch chuẩn nhỏ trong trường hợp này.
Phương pháp giải:
a)
- Công thức tính phương sai:
\({S^2} = \frac{1}{N}\sum\limits_{i = 1}^k {{n_i}({c_i}} - \overline x {)^2}\)
- Công thức tính độ lệch chuẩn:
\(S = \sqrt {{S^2}} \)
b) Độ lệch chuẩn càng nhỏ chứng tỏ các giá trị đo được càng gần với giá trị trung bình, nghĩa là độ chính xác của máy đo cao hơn. Trong trường hợp này, độ dày chi tiết máy càng đồng nhất thì chất lượng sản phẩm càng cao.
Lời giải chi tiết:
a)
Kích thước của mẫu số liệu là: \(N = 3 + 7 + 23 + 25 + 2 = 60\)
Độ dày trung bình:
\(\overline x = \frac{{{c_1}{n_1} + {c_2}{n_2} + {c_3}{n_3} + {c_4}{n_4} + {c_5}{n_5}}}{N} = \frac{{18,5.3 + 19,5.7 + 20,5.23 + 21,5.25 + 22,5.2}}{{60}} = 20,77\)
Phương sai của mẫu số liệu:
\(\begin{array}{l}{S^2} = \frac{{3.{{(18,5 - 20,77)}^2} + 7.{{(19,5 - 20,77)}^2} + 23.{{(20,5 - 20,77)}^2} + 25.{{(21,5 - 20,77)}^2} + 2.{{(22,5 - 20,77)}^2}}}{{60}}\\{S^2} \approx 0,79557\end{array}\).
Độ lệch chuẩn là:
\(S = \sqrt {0,79557} \approx 0,89195\)
Tầm quan trọng của việc có độ lệch chuẩn nhỏ trong trường hợp này chính là: Độ lệch chuẩn nhỏ chứng tỏ các giá trị đo độ dày của chi tiết máy không bị phân tán nhiều, đảm bảo tính đồng nhất và chất lượng sản phẩm.
LT2
Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 101 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Số tiền ghi trên hoá đơn của 150 khách hàng lấy ngẫu nhiên trong một ngày được siêu thị ghi lại ở bảng dưới đây:
Tìm phương sai, độ lệch chuẩn của mẫu số liệu về số tiền ghi trên hoá đơn.
Phương pháp giải:
- Công thức tính phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là:
\({S^2} = \frac{1}{N}\sum\limits_{i = 1}^k {{n_i}({c_i}} - \overline x {)^2}\)
- Công thức tính độ lệch chuẩn:
\(S = \sqrt {{S^2}} \)
Lời giải chi tiết:
Vì có 5 nhóm nên k = 5. Số tiền trung bình:
\(\overline x = \frac{{\sum\limits_{i = 1}^5 {\left( {{c_i}{n_i}} \right)} }}{N} = \frac{{{c_1}{n_1} + {c_2}{n_2} + {c_3}{n_3} + {c_4}{n_4} + {c_5}{n_5}}}{N} = \frac{{450 + 1125 + 6825 + 14850 + 8250}}{{150}} = 210\)
Phương sai của mẫu số liệu:
\(\begin{array}{l}{S^2} = \frac{1}{N}\sum\limits_{i = 1}^5 {{n_i}({c_i}} - \bar x{)^2}\\{S^2} = \frac{{6.{{(75 - 210)}^2} + 9.{{(125 - 210)}^2} + 39.{{(175 - 210)}^2} + 66.{{(225 - 210)}^2} + 30.{{(275 - 210)}^2}}}{{150}} = 2425\end{array}\)
Độ lệch chuẩn là:
\(S = \sqrt {2425} \approx 49,24\)
LT1
Trả lời câu hỏi Luyện tập 1 trang 99 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Bảng dưới đây tổng hợp thời gian hoàn thành bài kiểm tra IQ của 50 học sinh lớp 9:
Tính trung bình và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu đã cho. Nêu ý nghĩa của kết quả tìm được.
Phương pháp giải:
Áp dụng các công thức tính trung bình và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm:
- Công thức tính trung bình là
\(\overline x = \frac{{\sum\limits_{i = 1}^k {\left( {{c_i}{n_i}} \right)} }}{N}\)
- Công thức tính phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là:
\({S^2} = \frac{1}{N}\sum\limits_{i = 1}^k {{n_i}({c_i}} - \overline x {)^2}\)
- Công thức tính độ lệch chuẩn:
\(S = \sqrt {{S^2}} \)
Lời giải chi tiết:
Kích thước của mẫu số liệu là N = 50.
Vì có 5 nhóm nên k = 5. Trung bình mẫu:
\(\overline x = \frac{{\sum\limits_{i = 1}^5 {\left( {{c_i}{n_i}} \right)} }}{N} = \frac{{{c_1}{n_1} + {c_2}{n_2} + {c_3}{n_3} + {c_4}{n_4} + {c_5}{n_5}}}{N} = \frac{{3 + 99 + 150 + 378 + 270}}{{50}} = 18\)
Phương sai của mẫu số liệu:
\({S^2} = \frac{1}{N}\sum\limits_{i = 1}^5 {{n_i}({c_i}} - \bar x{)^2} = \frac{{1.{{(3 - 18)}^2} + 11.{{(9 - 18)}^2} + 10.{{(15 - 18)}^2} + 18.{{(21 - 18)}^2} + 10.{{(27 - 18)}^2}}}{{50}} = \frac{{1089}}{{25}} = 43,56\)
Độ lệch chuẩn là:
\(S = \sqrt {{S^2}} = \sqrt {43,56} = 6,6\) Các kết quả vừa tìm được cho thấy thời gian làm bài kiểm tra IQ của các học sinh lớp 9 có sự chênh lệch khoảng 6,6 so với thời gian trung bình.
VD2
Trả lời câu hỏi Vận dụng 2 trang 101 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trở lại với vấn đề của anh Bình.
Ta đã biết bảng 3.13 là số liệu anh Bình có về lương của 40 nhân viên có tuổi nghề dưới 5 năm thuộc công ty M. Để tiện tính toán, ta chép lại dưới đây bảng 3.13. Đối với công ty N, anh Bình cũng thu thập được một số mẫu số liệu ghép nhóm về lương của 42 nhân viên có tuổi nghề dưới 5 năm (Bảng 3.20).
Nếu muốn làm việc ở nơi mà lương giữa các nhân viên có tuổi nghề dưới 5 năm chênh lệch nhau ít hơn thì anh Bình nên chọn công ty M hay N?
Phương pháp giải:
- Tính mức lương trung bình của từng nhóm nhân viên theo công thức:
\(\overline L = \frac{{\sum {{f_i}.{L_i}} }}{{\sum {{f_i}} }}\)
Trong đó \({f_i}\) là số lượng nhân viên trong nhóm với mức lương \({L_i}\).
- Tìm độ lệch chuẩn của mức lương trong từng công ty và so sánh.
\(S = \sqrt {\frac{{\sum {{f_i}.\left( {{L_i} - \overline L } \right)} }}{{\sum {{f_i}} }}} \)
Lời giải chi tiết:
Mức lương trung bình của hai công ty là:
\({\overline L _M} = \frac{{\sum {{f_i}} .{L_i}}}{{{f_M}}} = \frac{{4.4 + 6.6 + 8.17 + 10.12 + 12.1}}{{40}} = 8\)
\({\overline L _N} = \frac{{\sum {{f_i}} .{L_i}}}{{{f_N}}} = \frac{{4.6 + 6.8 + 8.13 + 10.10 + 12.5}}{{42}} = 8\)
Độ lệch chuẩn mức lương của hai công ty là:
\({S_M} = \sqrt {\frac{{\sum {{f_i}.\left( {{L_i} - {{\bar L}_M}} \right)} }}{{{f_M}}}} = \sqrt {\frac{{4.{{(4 - 8)}^2} + 6.{{(6 - 8)}^2} + 17.{{(8 - 8)}^2} + 12.{{(10 - 8)}^2} + 1.{{(12 - 8)}^2}}}{{40}}} \approx 1,95\)
\({S_N} = \sqrt {\frac{{\sum {{f_i}.\left( {{L_i} - {{\bar L}_N}} \right)} }}{{{f_N}}}} = \sqrt {\frac{{6.{{(4 - 8)}^2} + 8.{{(6 - 8)}^2} + 13.{{(8 - 8)}^2} + 10.{{(10 - 8)}^2} + 5.{{(12 - 8)}^2}}}{{42}}} \approx 2,43\)
Nhận thấy độ lệch so với mức lương của công ty N cao hơn công ty M.
Như vậy, nếu muốn làm việc ở nơi mà lương giữa các nhân viên có tuổi nghề dưới 5 năm thì nên chọn công ty M.
- HĐ1
- LT1
- LT2
- VD1
- VD2
Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 96 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Bảng 3.13 là mẫu số liệu ghép nhóm về lương của 40 nhân viên công ty M mà anh Bình có:
a) Hãy ước tính lương trung bình \({\overline X _M}\) của 40 nhân viên.
b) Điều anh Bình quan tâm là độ lệch trung bình giữa lương của mỗi nhân viên so với lương trung bình \({\overline X _M}\). Anh Bình có thể ước lượng độ lệch giữa lương của những nhân viên thuộc nhóm thứ nhất (nhóm lương từ 3 đến dưới 5 triệu đồng) so với số trung bình qua giá trị nào?
c) Dựa vào công thức tính trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm và hai công thức tính phương sai, độ lệch chuẩn của mẫu số liệu không ghép nhóm, hãy đề xuất một cách ước tính phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu gốc mà anh Bình không có (bảng lương của từng người).
Phương pháp giải:
a) Công thức tính điểm trung bình
\({\bar X_M} = \frac{{\sum\limits_{i = 1}^k {\left( {{x_i}{n_i}} \right)} }}{N}\), trong đó:
- \({x_i}\) là giá trị đại diện của khoảng lương thứ \(i\).
- \({n_i}\) là tần số của khoảng lương thứ \(i\).
- \(N\) là tổng số nhân viên.
b) Sử dụng giá trị trung bình của nhóm lương từ 3 đến dưới 5 triệu đồng.
Công thức:
\(\Delta = \left| {{x_{[3;5)}} - {{\overline X }_M}} \right|\)
c)
- Công thức tính phương sai của mẫu số liệu không ghép nhóm là:
\({S^2} = \frac{1}{N}\sum\limits_{i = 1}^N {({x_i}} - \overline x {)^2}\)
- Công thức tính độ lệch chuẩn:
\(S = \sqrt {{S^2}} \)
Lời giải chi tiết:
a) Tính lương trung bình \({\overline X _M}\):
\(\begin{array}{l}[3;5):\frac{{3 + 5}}{2} = 4;\\(5;7):\frac{{5 + 7}}{2} = 6{\rm{ }};\\(7;9):\frac{{7 + 9}}{2} = 8{\rm{ }};\\(9;11)\frac{{9 + 11}}{2} = 10{\rm{ }};\\(11;13)\frac{{11 + 13}}{2} = 12{\rm{ }}\end{array}\)
Lương trung bình:
\({\overline X _M} = \frac{{\sum {{x_i}.{n_i}} }}{N} = \frac{{4.4 + 6.6 + 8.17 + 10.12 + 12.1}}{{40}} = 8\)
b) Ước lượng độ lệch trung bình:
Giá trị đại diện của nhóm thứ nhất (3 đến 5 triệu đồng): 4 triệu đồng
Độ lệch giữa lương của nhóm này và lương trung bình là:
\(\Delta = \left| {{x_{[3;5)}} - {{\overline X }_M}} \right| = \left| {4 - 8} \right| = 4\) triệu đồng
c)
Công thức tính trung bình là
\({\bar X_M} = \frac{{\sum\limits_{i = 1}^k {\left( {{x_i}{n_i}} \right)} }}{N}\)
Công thức tính phương sai của mẫu số liệu không ghép nhóm là:
\({S^2} = \frac{1}{N}\sum\limits_{i = 1}^N {({x_i}} - \overline x {)^2}\)
Ta biết rằng các giá trị \({x_i}\) nằm trong các nhóm, và mỗi nhóm có trung điểm \({x_j}\) và tần số \({n_j}\). Do đó, ta có thể viết lại tổng trên bằng cách thay thế từng \({x_i}\) trong mỗi nhóm bằng trung điểm \({x_j}\):
\({S^2} = \frac{1}{N}\sum\limits_{i = 1}^N {({x_i}} - \overline x {)^2} = \frac{1}{N}\sum\limits_{j = 1}^k {\sum\limits_{i = 1}^{{n_j}} {{{({x_i} - \overline x )}^2}} } = \frac{1}{N}\sum\limits_{j = 1}^k {{n_j}({x_j}} - \overline x {)^2}\)
Vậy công thức tính phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là:
\({S^2} = \frac{1}{N}\sum\limits_{j = 1}^k {{n_j}({x_j}} - \overline x {)^2}\)
Và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm vẫn là:
\(S = \sqrt {{S^2}} \).
Trả lời câu hỏi Luyện tập 1 trang 99 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Bảng dưới đây tổng hợp thời gian hoàn thành bài kiểm tra IQ của 50 học sinh lớp 9:
Tính trung bình và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu đã cho. Nêu ý nghĩa của kết quả tìm được.
Phương pháp giải:
Áp dụng các công thức tính trung bình và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm:
- Công thức tính trung bình là
\(\overline x = \frac{{\sum\limits_{i = 1}^k {\left( {{c_i}{n_i}} \right)} }}{N}\)
- Công thức tính phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là:
\({S^2} = \frac{1}{N}\sum\limits_{i = 1}^k {{n_i}({c_i}} - \overline x {)^2}\)
- Công thức tính độ lệch chuẩn:
\(S = \sqrt {{S^2}} \)
Lời giải chi tiết:
Kích thước của mẫu số liệu là N = 50.
Vì có 5 nhóm nên k = 5. Trung bình mẫu:
\(\overline x = \frac{{\sum\limits_{i = 1}^5 {\left( {{c_i}{n_i}} \right)} }}{N} = \frac{{{c_1}{n_1} + {c_2}{n_2} + {c_3}{n_3} + {c_4}{n_4} + {c_5}{n_5}}}{N} = \frac{{3 + 99 + 150 + 378 + 270}}{{50}} = 18\)
Phương sai của mẫu số liệu:
\({S^2} = \frac{1}{N}\sum\limits_{i = 1}^5 {{n_i}({c_i}} - \bar x{)^2} = \frac{{1.{{(3 - 18)}^2} + 11.{{(9 - 18)}^2} + 10.{{(15 - 18)}^2} + 18.{{(21 - 18)}^2} + 10.{{(27 - 18)}^2}}}{{50}} = \frac{{1089}}{{25}} = 43,56\)
Độ lệch chuẩn là:
\(S = \sqrt {{S^2}} = \sqrt {43,56} = 6,6\) Các kết quả vừa tìm được cho thấy thời gian làm bài kiểm tra IQ của các học sinh lớp 9 có sự chênh lệch khoảng 6,6 so với thời gian trung bình.
Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 101 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Số tiền ghi trên hoá đơn của 150 khách hàng lấy ngẫu nhiên trong một ngày được siêu thị ghi lại ở bảng dưới đây:
Tìm phương sai, độ lệch chuẩn của mẫu số liệu về số tiền ghi trên hoá đơn.
Phương pháp giải:
- Công thức tính phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là:
\({S^2} = \frac{1}{N}\sum\limits_{i = 1}^k {{n_i}({c_i}} - \overline x {)^2}\)
- Công thức tính độ lệch chuẩn:
\(S = \sqrt {{S^2}} \)
Lời giải chi tiết:
Vì có 5 nhóm nên k = 5. Số tiền trung bình:
\(\overline x = \frac{{\sum\limits_{i = 1}^5 {\left( {{c_i}{n_i}} \right)} }}{N} = \frac{{{c_1}{n_1} + {c_2}{n_2} + {c_3}{n_3} + {c_4}{n_4} + {c_5}{n_5}}}{N} = \frac{{450 + 1125 + 6825 + 14850 + 8250}}{{150}} = 210\)
Phương sai của mẫu số liệu:
\(\begin{array}{l}{S^2} = \frac{1}{N}\sum\limits_{i = 1}^5 {{n_i}({c_i}} - \bar x{)^2}\\{S^2} = \frac{{6.{{(75 - 210)}^2} + 9.{{(125 - 210)}^2} + 39.{{(175 - 210)}^2} + 66.{{(225 - 210)}^2} + 30.{{(275 - 210)}^2}}}{{150}} = 2425\end{array}\)
Độ lệch chuẩn là:
\(S = \sqrt {2425} \approx 49,24\)
Trả lời câu hỏi Vận dụng 1 trang 101 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Bộ phận kiểm tra chất lượng sản phẩm dùng máy để đo (chính xác đến 0,001 mm) độ dày của một chi tiết máy. Kết quả đo một số sản phẩm được thống kê trong bảng sau:
a) Tính phương sai và độ lệch chuẩn của độ dày chi tiết máy.
b) Giải thích tầm quan trọng của việc có độ lệch chuẩn nhỏ trong trường hợp này.
Phương pháp giải:
a)
- Công thức tính phương sai:
\({S^2} = \frac{1}{N}\sum\limits_{i = 1}^k {{n_i}({c_i}} - \overline x {)^2}\)
- Công thức tính độ lệch chuẩn:
\(S = \sqrt {{S^2}} \)
b) Độ lệch chuẩn càng nhỏ chứng tỏ các giá trị đo được càng gần với giá trị trung bình, nghĩa là độ chính xác của máy đo cao hơn. Trong trường hợp này, độ dày chi tiết máy càng đồng nhất thì chất lượng sản phẩm càng cao.
Lời giải chi tiết:
a)
Kích thước của mẫu số liệu là: \(N = 3 + 7 + 23 + 25 + 2 = 60\)
Độ dày trung bình:
\(\overline x = \frac{{{c_1}{n_1} + {c_2}{n_2} + {c_3}{n_3} + {c_4}{n_4} + {c_5}{n_5}}}{N} = \frac{{18,5.3 + 19,5.7 + 20,5.23 + 21,5.25 + 22,5.2}}{{60}} = 20,77\)
Phương sai của mẫu số liệu:
\(\begin{array}{l}{S^2} = \frac{{3.{{(18,5 - 20,77)}^2} + 7.{{(19,5 - 20,77)}^2} + 23.{{(20,5 - 20,77)}^2} + 25.{{(21,5 - 20,77)}^2} + 2.{{(22,5 - 20,77)}^2}}}{{60}}\\{S^2} \approx 0,79557\end{array}\).
Độ lệch chuẩn là:
\(S = \sqrt {0,79557} \approx 0,89195\)
Tầm quan trọng của việc có độ lệch chuẩn nhỏ trong trường hợp này chính là: Độ lệch chuẩn nhỏ chứng tỏ các giá trị đo độ dày của chi tiết máy không bị phân tán nhiều, đảm bảo tính đồng nhất và chất lượng sản phẩm.
Trả lời câu hỏi Vận dụng 2 trang 101 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trở lại với vấn đề của anh Bình.
Ta đã biết bảng 3.13 là số liệu anh Bình có về lương của 40 nhân viên có tuổi nghề dưới 5 năm thuộc công ty M. Để tiện tính toán, ta chép lại dưới đây bảng 3.13. Đối với công ty N, anh Bình cũng thu thập được một số mẫu số liệu ghép nhóm về lương của 42 nhân viên có tuổi nghề dưới 5 năm (Bảng 3.20).
Nếu muốn làm việc ở nơi mà lương giữa các nhân viên có tuổi nghề dưới 5 năm chênh lệch nhau ít hơn thì anh Bình nên chọn công ty M hay N?
Phương pháp giải:
- Tính mức lương trung bình của từng nhóm nhân viên theo công thức:
\(\overline L = \frac{{\sum {{f_i}.{L_i}} }}{{\sum {{f_i}} }}\)
Trong đó \({f_i}\) là số lượng nhân viên trong nhóm với mức lương \({L_i}\).
- Tìm độ lệch chuẩn của mức lương trong từng công ty và so sánh.
\(S = \sqrt {\frac{{\sum {{f_i}.\left( {{L_i} - \overline L } \right)} }}{{\sum {{f_i}} }}} \)
Lời giải chi tiết:
Mức lương trung bình của hai công ty là:
\({\overline L _M} = \frac{{\sum {{f_i}} .{L_i}}}{{{f_M}}} = \frac{{4.4 + 6.6 + 8.17 + 10.12 + 12.1}}{{40}} = 8\)
\({\overline L _N} = \frac{{\sum {{f_i}} .{L_i}}}{{{f_N}}} = \frac{{4.6 + 6.8 + 8.13 + 10.10 + 12.5}}{{42}} = 8\)
Độ lệch chuẩn mức lương của hai công ty là:
\({S_M} = \sqrt {\frac{{\sum {{f_i}.\left( {{L_i} - {{\bar L}_M}} \right)} }}{{{f_M}}}} = \sqrt {\frac{{4.{{(4 - 8)}^2} + 6.{{(6 - 8)}^2} + 17.{{(8 - 8)}^2} + 12.{{(10 - 8)}^2} + 1.{{(12 - 8)}^2}}}{{40}}} \approx 1,95\)
\({S_N} = \sqrt {\frac{{\sum {{f_i}.\left( {{L_i} - {{\bar L}_N}} \right)} }}{{{f_N}}}} = \sqrt {\frac{{6.{{(4 - 8)}^2} + 8.{{(6 - 8)}^2} + 13.{{(8 - 8)}^2} + 10.{{(10 - 8)}^2} + 5.{{(12 - 8)}^2}}}{{42}}} \approx 2,43\)
Nhận thấy độ lệch so với mức lương của công ty N cao hơn công ty M.
Như vậy, nếu muốn làm việc ở nơi mà lương giữa các nhân viên có tuổi nghề dưới 5 năm thì nên chọn công ty M.
Trọng Tâm Kiến Thức Cần Nắm Trong Bài Học Giải trang 96, 97, 98, 99, 100, 101 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá
Bài học Giải trang 96, 97, 98, 99, 100, 101 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá mang đến những khái niệm mới có tính bản lề, đóng vai trò kết nối kiến thức của chương trước và mở ra tư duy cho những bài học tiếp theo trong môn Toán học. Đối với học sinh lớp 12, việc vượt qua những rào cản nhận thức ban đầu là vô cùng quan trọng. Trước khi bắt tay vào giải bài tập phần "Vận dụng", học sinh cần phải thực sự hiểu rõ và ghi nhớ các định nghĩa, định lý hay các quy luật xã hội đã được trình bày trong sách . Đội ngũ biên soạn của chúng tôi đã cẩn thận tổng hợp lại những điểm mù kiến thức mà học sinh thường hay nhầm lẫn nhất ở phần đầu của lời giải. Bằng cách ôn tập lại lý thuyết thông qua phần tóm tắt này, bạn sẽ xây dựng được một nền móng vững chãi, từ đó việc giải quyết các câu hỏi thực hành phức tạp phía sau sẽ trở nên nhẹ nhàng và logic hơn rất nhiều.
Phân Tích Chuyên Sâu Từng Bước Giải Bài Tập (Step-by-step Solution)
Sự khác biệt lớn nhất của một bài hướng dẫn giải chuẩn mực so với một cuốn sách bài giải thông thường trên thị trường chính là tính tương tác và độ chi tiết. Đối với các câu hỏi trong bài Giải trang 96, 97, 98, 99, 100, 101 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá, chúng tôi áp dụng mô hình phân tích 3 bước (3-Step Analysis) vô cùng chặt chẽ:
- Bước 1 - Khai thác giả thiết: Phân tích đề bài xem đề bài đã cho chúng ta những dữ kiện định lượng/định tính nào. Việc tóm tắt đề bài một cách khoa học giúp loại bỏ các thông tin nhiễu không cần thiết.
- Bước 2 - Lựa chọn công cụ giải (Phương pháp): Dựa vào đặc điểm của môn Toán học lớp 12, chúng tôi sẽ chỉ ra rõ tại sao lại sử dụng công thức này mà không dùng công thức khác, hay tại sao lại phải phân tích vấn đề theo hướng này.
- Bước 3 - Triển khai và Biện luận kết quả: Trình bày chi tiết từng dòng tính toán, từng câu lập luận để đi đến kết quả cuối cùng. Đặc biệt, chúng tôi luôn có phần kiểm tra lại (check) để chắc chắn kết quả tìm được thỏa mãn điều kiện bài toán.
Gợi Ý Các Mẹo Giải Nhanh Và Mở Rộng Kiến Thức Thực Tiễn
Sau khi đã nắm vững phương pháp giải bài bản, tự luận, học sinh cần được rèn luyện thêm các kỹ năng xử lý tình huống nhanh để phục vụ cho các bài thi trắc nghiệm khách quan. Trong phần mở rộng của bài Giải trang 96, 97, 98, 99, 100, 101 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá, chúng tôi thường xuyên cung cấp các "mẹo" (tips) hoặc công thức tính nhẩm nhanh, hướng dẫn bấm máy tính cầm tay (Casio) cực kỳ hữu ích. Hơn nữa, vì bộ sách luôn đề cao triết lý "mang cuộc sống vào bài học, đưa bài học vào cuộc sống", các giáo viên của chúng tôi sẽ cố gắng liên hệ kết quả của bài toán, bài văn với những hiện tượng thực tiễn xảy ra xung quanh chúng ta. Việc mở rộng kiến thức này không chỉ thỏa mãn sự tò mò của những học sinh khá giỏi, mà còn nuôi dưỡng niềm yêu thích, biến môn Toán học vốn khô khan trở thành một lăng kính thú vị để khám phá thế giới.
Thảo Luận Cùng Chuyên Gia Và Cộng Đồng Học Sinh Toán học
Quá trình tự học chắc chắn sẽ không tránh khỏi những khoảnh khắc bế tắc khi bạn đọc kỹ lời giải bài Giải trang 96, 97, 98, 99, 100, 101 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá mà vẫn chưa thực sự "sáng tỏ" một bước lập luận nào đó. Đừng lo lắng! Tính năng bình luận (Comment) phía dưới bài viết được thiết kế chính là để phục vụ cho nhu cầu hỏi đáp (Q&A) này. Hãy mạnh dạn đặt câu hỏi, chỉ rõ chỗ bạn chưa hiểu, đội ngũ cộng tác viên chuyên môn môn Toán học lớp 12 của website sẽ nhanh chóng vào giải đáp và gỡ rối cho bạn. Đồng thời, nếu bạn có một cách giải khác (Alternative Solution) ngắn gọn hơn, sáng tạo hơn cách giải mà chúng tôi cung cấp, hãy tự hào chia sẻ nó lên phần bình luận. Việc cùng nhau thảo luận, tranh biện một vấn đề học thuật không chỉ giúp cộng đồng phát triển mạnh mẽ mà còn là minh chứng rõ nét nhất cho tinh thần hiếu học của thế hệ trẻ Việt Nam.